newton插值法python

Newton插值法是一种多项式插值方法，可以用于在给定数据点的情况下，构造一个经过这些点的多项式函数。下面是Python实现Newton插值法的代码：

def newton_interpolation(x, y):
    n = len(x)
    a = y.copy()
    for j in range(1, n):
        for i in range(n-1, j-1, -1):
            a[i] = (a[i] - a[i-1]) / (x[i] - x[i-j])
    def f(t):
        result = a[-1]
        for i in range(n-2, -1, -1):
            result = result * (t - x[i]) + a[i]
        return result
    return f

其中，x和y分别是数据点的横坐标和纵坐标，返回值是一个函数，可以用于计算插值多项式在任意点的函数值。

相关问题

牛顿向前插值法python

牛顿-拉弗森插值法（Newton's Forward Interpolation Formula），也称为内插多项式法，是一种用于在给定数据点上构建多项式近似的方法。在Python中，你可以使用numpy库来实现这个算法。这种方法的基本思想是，通过数据点的坐标找到一个满足这些点的最小次数多项式。

以下是牛顿-拉弗森插值法的基本步骤：

1. 给定一系列数据点 `(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)`，其中 `n` 是多项式的阶数。

2. 对于每个插值点 `(xi, yi)`，计算插值多项式的系数，通常用Horner's方法或布努利公式。

3. 最终得到的插值多项式 `P(x) = a_n * x^n + a_{n-1} * x^{n-1} + ... + a_1 * x + a_0`。

在Python中，你可以这样做：

import numpy as np

def newton_interpolate(points, x):
    """
    使用牛顿插值法计算插值值
    :param points: 数据点列表，每个元素是一个包含两个值的元组，如 [(x0, y0), (x1, y1), ...]
    :param x: 需要插值的x值
    :return: 插值结果
    """
    n = len(points) - 1
    coefficients = np.zeros(n+1)
    
    for i in range(n, -1, -1):
        # 计算系数
        delta = [points[j] - points[i] for j in range(i+1, n+1)]
        delta_x = [points[j] - points[i] for j in range(i+1, n+1)]
        coefficients[i] = delta[-1] / delta_x[-1]
        
        # 更新剩余点的y值
        for j in range(n-i, n):
            delta[j] = delta[j] - delta_x[j] * coefficients[i]
            
    return sum([coefficients[i] * x**i for i in range(len(coefficients))])

# 示例用法
data_points = [(0, 1), (1, 3), (2, 5)]
x_value = 1.5
interpolated_value = newton_interpolate(data_points, x_value)

牛顿插值法python作图

好的，以下是牛顿插值法的 Python 代码和作图过程：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def newton_interpolation(x, y, x_eval):
    n = len(x)
    F = np.zeros([n,n])
    F[:,0] = y
    
    for j in range(1,n):
        for i in range(j,n):
            F[i][j] = (F[i][j-1]-F[i-1][j-1])/(x[i]-x[i-j])
    
    y_eval = F[0][0]
    w = 1.0
    
    for j in range(1,n):
        w = w*(x_eval-x[j-1])
        y_eval = y_eval + F[0][j]*w
        
    return y_eval

# Example
x = [0, 1, 3, 6]
y = [-1, 0, 2, 9]
x_eval = np.linspace(0, 6, num=100)
y_eval = [newton_interpolation(x, y, i) for i in x_eval]

plt.plot(x_eval, y_eval)
plt.scatter(x, y)
plt.show()

这段代码实现了牛顿插值法，并同时作出了插值函数的图像。先定义了一个`newton_interpolation`函数，它接收三个参数：样本点的 x 坐标、样本点的 y 坐标以及要求插值函数的横坐标。然后用这些样本点求解出差商表并返回插值函数的纵坐标。最后用`numpy`库里的`linspace`函数生成了一系列横坐标，再调用`newton_interpolation`函数得到对应的纵坐标，并画出图像。