定义newton插值函数用Python

牛顿插值法是一种用于多项式插值的方法，它构建的插值多项式具有分段的形式，便于在每添加一个新的插值点时对插值多项式进行修正而不必重新计算整个多项式。牛顿插值多项式通常表示为差分的形式，并且可以表示为如下形式：

P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x - x0)(x - x1)...(x - xn-1)

其中，f[x0, x1, ..., xi] 是i阶差商，定义为：

f[xi] = f(xi)，
f[xi, xi+1] = (f[xi+1] - f[xi]) / (xi+1 - xi)，
f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)。

在Python中，我们可以使用递归的方式来计算差商，并构建牛顿插值多项式。以下是一个简单的实现：

def divided_diff(x, y):
    n = len(y)
    coef = np.zeros([n, n])
    coef[:,0] = y
    
    for j in range(1, n):
        for i in range(n - j):
            coef[i][j] = (coef[i+1][j-1] - coef[i][j-1]) / (x[i+j] - x[i])
            
    return coef[0, :] # 返回最高阶差商的值

def newton_poly(coef, x_data, x):
    n = len(coef) - 1 
    p = coef[n]
    for k in range(1, n + 1):
        p = coef[n - k] + (x - x_data[n - k]) * p
    return p

在这个实现中，`divided_diff`函数用来计算差商，返回的是一个二维数组，其中包含了所有阶的差商。`newton_poly`函数用来计算给定x值的插值多项式的值。

使用这个函数，首先需要提供一个x值的列表和对应的函数值列表，然后可以使用返回的差商来计算任意x值的插值结果。