用Python代码计算In(x+1)/x在x=0,x=无穷时的极限，并画出函数的图像

在数学中，当x趋近于0或无穷大时，计算表达式In(x+1)/x的极限需要注意特殊情况，因为分母趋近于零可能导致除以零的问题。对于x=0的情况，由于自然对数ln(1) = 0，所以表达式变为无限大；而对于x趋于正无穷，可以先取对数简化，得到lim (x->∞)[ln(x+1)-ln(x)]/x。

用Python的math库可以处理这些计算，但是为了绘制函数图像，我们可以使用matplotlib库。以下是简单的Python代码示例：

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
def f(x):
    try:
        # 避免除以零，当x非常接近0时返回无穷大
        if abs(x) < 1e-6:
            return float('inf')
        else:
            return math.log(x + 1) / x
    except ValueError:
        print("Invalid input for natural logarithm.")
        return None

# 计算极值
limit_x0 = math.inf if f(0) == float('inf') else f(0)
limit_inf = f(float('inf')) if f(float('inf')) is not None else None

print(f"Limit at x=0: {limit_x0}")
print(f"Limit at infinity: {limit_inf}")

# 绘制函数图像
x_values = np.linspace(-5, 5, 400)
y_values = [f(x) for x in x_values]

plt.plot(x_values, y_values, label='In(x+1)/x')
plt.axhline(math.nan, color='red', linestyle=':', label='Indeterminate form')
plt.axvline(0, color='black', linestyle='--')
plt.xscale('log')
plt.legend()
plt.title("Function Graph of In(x+1)/x")
plt.show()