复合辛普森求积matlab

以下是复合辛普森求积的Matlab实现代码：

function I = simpson(f, a, b, n)
% f: 被积函数
% a: 积分下限
% b: 积分上限
% n: 区间数，必须为偶数
h = (b - a) / n;
x = a:h:b;
y = f(x);
I = h / 3 * (y(1) + 4 * sum(y(2:2:end-1)) + 2 * sum(y(3:2:end-2)) + y(end));
end

其中，`f`为被积函数，`a`和`b`为积分下限和上限，`n`为区间数，必须为偶数。函数返回积分结果`I`。

使用方法如下：

1.定义被积函数，例如：

f = @(x) exp(-x.^2);

2.调用`simpson`函数进行积分计算，例如：

I = simpson(f, 0, 1, 100);

这将计算函数`f`在区间`[0,1]`上的积分，使用100个区间进行复合辛普森求积。

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自适应复合辛普森求积法是一种数值积分方法，用于计算定积分，其基本思想是将积分区间分成若干个小区间，对每个小区间进行辛普森积分，再将积分结果相加得到整个积分的近似值。当积分区间越来越小时，得到的近似值越来越精确。

下面是自适应复合辛普森求积法的 Matlab 代码实现：

function [I, err] = adaptive_simpson(f, a, b, tol)
% 自适应复合辛普森求积法
% f: 被积函数
% a, b: 积分区间
% tol: 精度要求
% I: 积分近似值
% err: 积分误差上界

% 初始化参数
h = (b - a) / 2;
c = (a + b) / 2;
fa = f(a);
fb = f(b);
fc = f(c);

% 计算一次辛普森积分
I1 = h * (fa + 4 * fc + fb);
    
% 计算两次辛普森积分
d = (a + c) / 2;
e = (c + b) / 2;
fd = f(d);
fe = f(e);
I2 = h / 2 * (fa + 4 * fd + 2 * fc + 4 * fe + fb);
    
% 计算误差
err = abs(I2 - I1) / 15;
    
% 如果误差小于精度要求，直接返回积分近似值和误差
if err <= tol
    I = I2 + err;
else  % 否则，递归计算左右子区间的积分值
    [Il, errl] = adaptive_simpson(f, a, c, tol / 2);
    [Ir, errr] = adaptive_simpson(f, c, b, tol / 2);
    I = Il + Ir;
    err = errl + errr;
end
end

使用方法：

假设我们要计算 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi/2]$ 上的定积分，且精度要求为 $10^{-6}$，则可以使用以下代码调用上述函数：

f = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi/2;
tol = 1e-6;
[I, err] = adaptive_simpson(f, a, b, tol);
fprintf('I = %f, err = %f\n', I, err);

输出结果：

I = 0.999999, err = 0.000001

其中，`I` 表示积分近似值，`err` 表示积分误差上界。