奇异值分解图像压缩python

### 实现基于SVD的图像压缩

#### 导入必要的库并加载图片
为了使用奇异值分解(SVD)来压缩图像，首先需要安装和导入一些基本的Python库。这些库包括`numpy`, `scipy`, 和 `PIL`(Python Imaging Library)，后者可以用来处理图像文件。

import numpy as np
from scipy import linalg
from PIL import Image

接着，按照给定的方法读取待压缩的图片，并将其转换成NumPy数组形式以便后续操作[^2]：

img = Image.open('path_to_image')  # 替换为具体的路径名
a = np.array(img)

对于彩色图像来说，通常会有一个三维的数据结构（宽度×高度×颜色通道），而灰度图像是二维的（宽度×高度）。如果要对彩色图像执行SVD，则需分别对每个颜色层进行处理；这里假设输入的是单色或已转化为灰度模式的图像。

#### 执行SVD分解
一旦有了表示图像像素强度值的矩阵A之后，就可以调用SciPy中的`sparse.linalg.svd()`函数来进行奇异值分解:

U, sigma, Vt = linalg.svd(a, full_matrices=False)

这里的参数设置`full_matrices=False`意味着只计算非零奇异向量对应的左/右奇异矩阵部分，这有助于减少不必要的内存占用以及加快运算速度。

#### 构建近似矩阵
得到三个因子后，可以选择前k个最大的σ_i (即奇异值), 来重构一个低秩版本的原矩阵作为压缩后的结果。具体做法如下所示：

def compress_svd(U, s, Vt, k):
    """ 使用前K个最大奇异值得到压缩后的矩阵 """
    compressed_matrix = U[:, :k].dot(np.diag(s[:k])).dot(Vt[:k, :])
    return compressed_matrix

其中变量`compressed_matrix`就是经过截断重建的新矩阵，它包含了最重要的视觉信息但所需存储空间更少。

#### 将数值范围调整回合法区间内
由于浮点数精度损失等原因可能导致某些元素超出正常显示范围([0,255])，因此还需要做适当裁剪以确保最终输出正确无误：

reconstructed_img = np.clip(compressed_matrix, 0, 255).astype(np.uint8)

最后一步是保存修改过的数据至新的图形文件中去完成整个流程：

resulting_image = Image.fromarray(reconstructed_img)
resulting_image.save('output_path', format='JPEG')

通过上述过程可以看出，利用SVD不仅可以有效减小文件体积，而且能够在一定程度上保持原有质量不变甚至更好——特别是当选择合适的k值时[^4]。