求1/1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+13/21+21/34 \dots 1/1+1/2+2/3+3/5+5/8+8/13+13/21+21/34…的前 n 项的和。
时间: 2023-10-02 12:07:17 浏览: 42
这是一个著名的数学问题,即斐波那契数列的前一项与后一项的比例趋近于黄金分割比例 $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。因此,这个无限级数的和是无限逼近于 $\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi+\frac{1}{2})$。
具体来说,我们可以先将这个无限级数分成两个部分:
$$\sum_{i=1}^{n}\frac{F_i}{F_{i+1}}=\sum_{i=1}^{n}\frac{F_i}{F_i+F_{i-1}}+\sum_{i=1}^{n}\frac{F_{i-1}}{F_i+F_{i-1}}$$
其中 $F_i$ 表示斐波那契数列的第 $i$ 项。上式中的第一部分可以化简为:
$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}\frac{F_i}{F_i+F_{i-1}} &= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{F_{i-1}}{F_i}} \\ &= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{F_{i-2}}{F_{i-1}}}} \\ &= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{\ddots+\frac{1}{1+\frac{1}{F_2/F_1}}}}} \\ &= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{1}{\phi}} \\ &= \sum_{i=1}^{n}\frac{\phi}{1+\phi} \\ &= \frac{n\phi}{1+\phi} \end{aligned}$$
同样,第二部分可以化简为:
$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}\frac{F_{i-1}}{F_i+F_{i-1}} &= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{F_i}{F_{i-1}}} \\ &= \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{1}{\phi}} \\ &= \sum_{i=1}^{n}\frac{\phi}{2+\phi} \\ &= \frac{n\phi}{2+\phi} \end{aligned}$$
因此,原式的和为:
$$\begin{aligned}\sum_{i=1}^{n}\frac{F_i}{F_{i+1}} &= \frac{n\phi}{1+\phi}+\frac{n\phi}{2+\phi} \\ &= \frac{n\phi(3+\phi)}{5} \end{aligned}$$
将 $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 带入上式,即可得到前 $n$ 项的和。