当x趋近于a ,1/(x-a) =?
时间: 2024-04-08 19:36:25 浏览: 20
当 x 趋近于 a 时,表达式 1/(x-a) 的极限取决于 a 的取值和 x 的趋近方式。我们可以考虑两种情况:
1. 当 x 趋近于 a 但不等于 a 时,即 x ≠ a,那么可以将表达式写为 1/(x-a) = 1/[(x-a)*1]。在这种情况下,极限的计算可以使用基本极限公式:
lim(x→a) 1/(x-a) = lim(x→a) 1/[(x-a)*1] = 1/[(a-a)*1] = 1/0
这里的极限结果是一个除以零的情况,所以这个极限是不存在的。
2. 当 x 趋近于 a 且 x = a 时,即 x = a,那么表达式变为 1/(x-a) = 1/(a-a) = 1/0。
在这种情况下,分母为零,所以这个极限同样是不存在的。
综上所述,在 x 趋近于 a 的情况下,无论 x 是否等于 a,表达式 1/(x-a) 的极限都是不存在的。
希望这个回答对你有所帮助!如果还有其他问题,请随时提出。
相关问题
limx→0 (f(x-1)/ln(x-1)=1推出f(x-1)在想x=1的值
### 回答1:
根据给定的极限式,可以得到:
limx→0(f(x-1)/ln(x-1)) = 1
因此,当x趋近于1时,f(x-1)与ln(x-1)的比值趋近于1。
根据极限的定义,我们可以得到:
limx→1(f(x-1)-f(0))/(x-1) = L
其中L为常数。
因此,当x趋近于1时,f(x-1)与f(0)的差值与x-1的比值趋近于L。
由此可以推导出:
limx→1(f(x-1)-f(0))/(ln(x-1)) = L
因此,f(x-1)在x=1时的值为f(0)。
### 回答2:
根据题目中的条件,我们知道当$x \to 0$时,$\lim_{x \to 0} \left(\frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}\right) = 1$。要求出$f(x-1)$在$x=1$处的值,我们可以采用以下方法来计算。
首先,将$x$替换为$x-1$,得到$\lim_{x \to 0} \left(\frac{f(1-x)}{\ln(1-x-1)}\right) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{f(1-x)}{\ln(-x)}\right)$。
我们知道,在$x \to 0$的过程中,$\ln(-x)$的值趋向于$-\infty$。由于$f(1-x)$与$\ln(-x)$的比值趋向于1,我们可以推断出$f(1-x)$在$x=1$的值为$-\infty$。
因此,根据题目中的条件,当$\lim_{x \to 0} \left(\frac{f(x-1)}{\ln(x-1)}\right) = 1$时,可以推出$f(1)$的值为$-\infty$。
### 回答3:
题目中给出了一个极限的条件:当x趋近于0时,limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1。我们需要根据这个条件来推导f(x-1)在x=1时的值。
首先,根据极限的定义,我们可以得到一个重要的结论:limx→a (g(x))=L,则对于任意的ε>0,存在一个正数δ>0,使得当0<|x-a|<δ时,有|g(x)-L|<ε。
回到题目中,根据已知条件limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1,我们可以将其转化为:对于任意的ε>0,存在一个正数δ>0,使得当0<|x-0|<δ时,有|f(x-1)/ln(x-1)-1|<ε。
接下来,我们将证明f(x-1)在x=1的值存在且唯一。
假设limx→1 (f(x-1)/ln(x-1))存在,且等于L。则根据极限的定义,对于任意的ε>0,存在一个正数δ>0,使得当0<|x-1|<δ时,有|f(x-1)/ln(x-1)-L|<ε。
由于limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1,我们可以选择ε=1/2。根据上述性质,存在一个正数δ>0,使得当0<|x-0|<δ时,有|f(x-1)/ln(x-1)-1|<1/2。
同时,存在一个正数δ'>0,使得当0<|x-1|<δ'时,有|f(x-1)/ln(x-1)-L|<1/2。
取一个小的正数ε',使得ε'>0且ε'<min(δ,δ')。那么当0<|x-1|<ε'时,根据三角不等式,有:
|1 - L| = |(f(x-1)/ln(x-1) - L) + (f(x-1)/ln(x-1) - 1)| ≤ |f(x-1)/ln(x-1) - L| + |f(x-1)/ln(x-1) - 1| < 1/2 + 1/2 = 1。
根据上述不等式,我们可以得出结论:存在一个小的正数ε',使得当0<|x-1|<ε'时,有|1-L|<1,即L的取值范围必然在(0,2)之间。
综上所述,由给定的条件limx→0 (f(x-1)/ln(x-1))=1,我们推出了f(x-1)在x=1处的值存在且唯一,且其取值范围在(0,2)之间。
为什么等比级数求和为x/(1-x)
假设等比数列的首项为 a,公比为 r,那么它的第 n 项为 a * r^(n-1)。
接下来我们来推导等比级数的求和公式:
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^(n-1)
rS = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n
两式相减,得:
S - rS = a - ar^n
化简可得:
S = a * (1 - r^n) / (1 - r)
当 n 趋近于无穷大时,r^n 就会趋近于 0,所以当 r 的绝对值小于 1 时,上式的分母不为 0,等比级数的和存在。
将 r 代入上式,得:
S = a / (1 - r)
所以,等比级数的和为 S = a / (1 - r)。
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