考虑优化问题: minx 1 s.t. 16 − (x 1 − 4) 2 − x 2 2 ≥ 0 x 2 1 + (x 2 − 2) 2 − 4 = 0 (a) 写出上述问题的最优性条件, 计算 KKT 点. (b) 判断上述 KKT 点是否是局部极小点, 鞍点, 或全局极小点.
时间: 2023-06-17 19:05:48 浏览: 44
(a) 上述问题的最优性条件为:
- 拉格朗日函数为:$$L(x,\lambda,\mu)=1-\lambda(16-(x_1-4)^2-x_2^2)-\mu(x_2^2+(x_2-2)^2-4)$$
- 满足约束条件:$$16 − (x_1 − 4) 2 − x_2 2 ≥ 0$$
$$x_2 1 + (x_2 − 2) 2 − 4 = 0$$
- 拉格朗日乘子非负:$$\lambda\geq 0,\mu\geq 0$$
- 满足 KKT 条件:
$$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x_1}&=-2\lambda(x_1-4)=0\\ \frac{\partial L}{\partial x_2}&=-2\lambda x_2-2\mu(x_2-2)=0\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda}&=16-(x_1-4)^2-x_2^2\geq 0\\ \frac{\partial L}{\partial \mu}&=x_2^2+(x_2-2)^2-4=0\\ \lambda (16-(x_1-4)^2-x_2^2)&=0\\ \mu(x_2^2+(x_2-2)^2-4)&=0\\ \end{aligned}$$
根据上述条件,可以求得 KKT 点为:
$$x^*=\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix},\lambda^*=0,\mu^*=8$$
(b) 对于 KKT 点,可以使用二阶条件来判断其是否是局部极小点、鞍点或全局极小点。
计算 Hessian 矩阵为:
$$H(x^*)=\begin{bmatrix}-32&0\\0&-16\end{bmatrix}$$
由于 Hessian 矩阵是负定的,因此该 KKT 点是一个局部极小点。