要发送的数据为1101011011。采用crc的生成多项式是p（x）=x4+x+1。试求应添加在数据后面的余数。数据在传输过程中最后一个1变成了0，问接收端能否发现？若数据在传输过程中最后两个1都变成

### 回答1：
，接收端能否发现？

要发送的数据为1101011011，生成多项式为x4+x+1。

首先，将生成多项式左移一位，变为x5+x2，即在数据后面添加5个，得到110101101100000。

然后，用生成多项式对数据进行除法运算，得到余数为101。

因此，应添加在数据后面的余数为101，发送的完整数据为11010110111010。

如果数据在传输过程中最后一个1变成了，接收端能够发现，因为接收端计算出来的余数与发送端不同。

如果数据在传输过程中最后两个1都变成，接收端也能够发现，因为此时计算出来的余数仍然与发送端不同。

### 回答2：
CRC（循环冗余校验）是一种常用的数据传输验证方式，常用于网络传输和存储介质校验，具有快速、简单、可靠等特点。

对于本题中的数据1101011011，采用生成多项式p（x）=x4 + x + 1，可进行如下的CRC校验：

1. 将数据1101011011左移4位，得到11010110110000作为被除数。
2. 用生成多项式p（x）=x4 + x + 1对11010110110000进行除法运算，得到商为1100101（7位）余数为0110（4位），将余数拼接在数据末尾得到校验码11010110110110，即发送的完整数据为1101011011110。
3. 接收端收到数据后，按照同样的方法对数据进行除法运算，若得到的余数为0，则说明数据没有发生错误。如果余数不为0，则说明数据在传输过程中发生了错误，需要进行重新发送。

若数据在传输过程中最后一个1变成了0，此时的数据为1101011010。进行CRC校验如上所述，得到的余数为1110，接收端可以检测到数据错误。

如果在数据传输过程中最后两个1都变成了0，此时的数据为1101011000。进行CRC校验如上所述，得到的余数为0100，因为余数不为0，接收端可以检测到数据错误。但需要注意的是，如果余数恰好与产生的校验码完全相同，那么接收端将无法检测到数据错误。因此，在实际应用中，选择适当的生成多项式非常重要，应尽可能避免出现余数与校验码完全相同的情况。

### 回答3：
首先，CRC是一种循环冗余校验码，用于检测数据传输过程中的错误。在CRC校验中，发送方将数据按照一定的规律进行计算，得到一个校验值，然后将数据和校验值一起发送给接收方。接收方同样按照这个规律对数据进行计算，并将计算结果与发送方发送的校验值进行比较，如果一致，则说明数据传输过程中没有发生错误。

对于本题中的数据1101011011，采用CRC生成多项式p（x）=x4 +x+1进行计算。具体步骤如下：

1. 在数据后补上4个0，得到扩展数据11010110110000；
2. 将扩展数据每4位分组，得到3组，分别为1101、0110、1100；
3. 将每组数据转换为二进制数，得到13、6、12；
4. 将13、6、12转换为4位二进制数，分别为1101、0110、1100；
5. 将1101、0110、1100连成一串，得到11010110101100；
6. 将得到的串除以生成多项式p（x）=x4 +x+1，得到余数1010；
7. 将余数1010添加到数据后面，得到最终发送的数据为11010110111010。

如果数据在传输过程中最后一个1变成了0，接收端可能会发现错误，因为在CRC校验中余数不一致说明传输中发生错误。如果数据在传输过程中最后两个1都变成了0，接收端也有可能发现错误，但是不能完全确保，因为此时余数和正确的余数相同。

总之，CRC校验虽然并不能完全避免数据传输错误，但是可以有效地降低错误率，并且具有简单，快速，可靠等优点，因此广泛应用于数据传输中。