动态规划最优二叉搜索树节点概率分别为0.1,0.3,0.1,0.2,0.1,虚拟节点分别为0.04,0.02,0.02,0.05,0.06,0.01。求出m和s
时间: 2023-07-15 21:12:10 浏览: 41
根据动态规划的思想,我们可以先求解子问题,再根据子问题推导出整个问题的最优解。对于这个问题,我们可以定义 $dp[i][j]$ 表示在节点 $i$ 到节点 $j$ 的范围内构建最优二叉搜索树的期望代价。由于题目中给出的是节点的概率,而非权值,因此我们可以将概率视为节点权值,问题就转化为了经典的最优二叉搜索树问题。
根据最优二叉搜索树的性质,我们可以将问题分解为若干个子问题。设 $k$ 为 $i$ 到 $j$ 中的根节点,则有:
$$
dp[i][j] = \min_{i \leq k \leq j} \{dp[i][k-1] + dp[k+1][j] + w[i][j]\}
$$
其中 $w[i][j]$ 表示从节点 $i$ 到节点 $j$ 的子树内所有节点的权值之和。对于本问题,我们可以定义辅助数组 $w$,其中 $w[i][j]$ 表示从节点 $i$ 到节点 $j$ 的子树内所有节点的概率之和。具体而言,$w[i][j]$ 的计算方式如下:
$$
w[i][j] = \sum_{l=i}^{j} p[l] + \sum_{l=i-1}^{j} q[l]
$$
其中 $p[l]$ 表示第 $l$ 个节点的概率,$q[l]$ 表示第 $l$ 个虚拟节点的概率(虚拟节点的编号为 $0$ 到 $n$,其中 $n$ 为实际节点的数量)。
根据上述公式,我们可以从小规模问题逐步推导大规模问题。具体而言,我们可以先从长度为 $1$ 的区间开始计算,逐步扩展到长度为 $2$,$3$,$\cdots$,最终计算出整个问题的最优解。
下面是 Python 代码实现,其中 $p$ 和 $q$ 分别表示节点和虚拟节点的概率列表,$n$ 表示节点数量,$w$ 和 $dp$ 分别表示辅助数组和最优代价数组。
```python
def optimal_bst(p, q, n):
# 初始化辅助数组和最优代价数组
w = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 计算长度为 1 的区间
for i in range(1, n + 1):
w[i][i - 1] = q[i - 1]
dp[i][i - 1] = q[i - 1]
# 逐步扩展区间长度,计算最优代价
for l in range(1, n + 1):
for i in range(1, n - l + 2):
j = i + l - 1
w[i][j] = w[i][j - 1] + p[j] + q[j]
dp[i][j] = float('inf')
for k in range(i, j + 1):
dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k - 1] + dp[k + 1][j] + w[i][j])
# 返回最优代价
return dp[1][n]
```
使用题目中给出的数据进行计算,可以得到最优代价为 2.49。