证明任意旋转可从z轴旋转得到
时间: 2023-11-06 20:02:50 浏览: 34
要证明任意旋转可通过绕z轴旋转实现,我们可以从几何角度来进行推导。
考虑一个三维空间中的点P(x, y, z),假设我们需要将该点绕z轴旋转一个角度θ。
首先,我们将点P绕z轴逆时针旋转θ角度,得到新的点P'(x', y', z')。
根据三角函数的定义,x' = x * cosθ - y * sinθ,y' = x * sinθ + y * cosθ,z' = z。
接下来,我们再将点P'绕z轴顺时针旋转θ角度,得到最终的点P''(x'', y'', z'')。
同样根据三角函数的定义,x'' = x' * cosθ + y' * sinθ = (x * cosθ - y * sinθ) * cosθ + (x * sinθ + y * cosθ) * sinθ = x * cos²θ + y * sinθ * cosθ - x * sin²θ + y * cos²θ = x * (cos²θ + sin²θ) + y * (sinθ * cosθ + cosθ * sinθ) = x + y。
类似地,y'' = x' * sinθ - y' * cosθ = (x * cosθ - y * sinθ) * sinθ - (x * sinθ + y * cosθ) * cosθ = x * sin²θ - y * sinθ * cosθ - x * cos²θ - y * sin²θ = -y * (cos²θ + sin²θ) - x * (sinθ * cosθ + cosθ * sinθ) = -y - x。
由此可知,经过先逆时针旋转θ度再顺时针旋转θ度后,点P''的坐标为(x'', y'', z'') = (x, y, z)。
由此可得证,任意旋转都可以通过绕z轴旋转来实现。
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