有限差分法求解d^2u/dx^2 = exp(-x^2), u(-1) = 0, u(1) = 0
时间: 2023-06-03 14:05:57 浏览: 41
好的,这个问题可以回答。根据有限差分法,我们可以将区间[-1,1]离散化成N份,设x_i=-1+i*h(i=0,1,...,N),其中h=2/N。因为u(-1)=u(1)=0,所以我们可以得到边界条件u_0=u_N=0,接下来我们可以把d^2u/dx^2用有限差分近似表示,得到:
(u_{i-1} - 2u_i + u_{i+1})/h^2 = exp(-x_i^2), i=1,2,...,N-1
将上述方程组写成矩阵形式,得到(Au=f),其中:
A =
[ 2 -1 0 0 ... 0]
[-1 2 -1 0 ... 0]
[ 0 -1 2 -1 ... 0]
[ 0 0 -1 2 ... 0]
[ 0 ... ... ]
[ 0 0 0 ... -1 2]
f =
[exp(-x_1^2)]
[exp(-x_2^2)]
[exp(-x_3^2)]
[exp(-x_4^2)]
[ ... ]
[exp(-x_N^2)]
u = the solution to the problem.
解出u即可。
相关问题
如何用MATLAB代码通过有限差分法求解d^2u/dx^2 = exp(-x^2), u(-1) = 0, u(1) = 0
可以使用以下步骤来解决这个问题:
1. 首先,定义网格的大小和步长。选择一个合适的步长可以使解更加准确,但是会增加计算成本。
2. 接下来,定义一个矩阵A,其中第i行第i列元素的值为-2/h^2,第i-1行第i列元素和第i+1行第i列元素的值为1/h^2,其他元素都为0。
3. 定义一个向量b,其中第i个元素的值为exp(-x(i)^2),其中x(i)表示第i个网格点的位置。
4. 解线性方程组Ax = b,即可得到每个网格点上的解。
以下是MATLAB代码实现:
n = 100; % 网格的大小
h = 2/n; % 步长
x = linspace(-1, 1, n+1)';
A = diag(-2/h^2*ones(n-1,1)) + diag(1/h^2*ones(n-2,1),1) + diag(1/h^2*ones(n-2,1),-1);
b = exp(-x(2:end-1).^2);
u = [0; A\b; 0]; % 在左右边界处设置边界条件
plot(x,u)
如何用有限差分法求解d.^2u/dx.^2=exp.^(-x.^2),u(-1)=0,u(1)=0
好的,这是一个数学问题,可以用有限差分法求解。可以使用二次精度的中心差分公式,将d²u/dx²离散化为(u[i-1]-2u[i]+u[i+1])/h²,其中h为网格间距。将方程代入差分方程中,得到u[i]=1/2(u[i-1]+u[i+1])-h²/2*exp(-x[i]²),其中x[i]表示第i个网格点的位置。使用两个边界条件u[-1]=0和u[1]=0来求解,具体方法是将这两个边界条件代入差分方程得到两个方程,使用消元法求解即可。