证明在任意非空二叉树T上,分支结点数等于叶子结点数的条件是二叉树T上度为1的结点只有1个。
时间: 2024-04-03 07:32:08 浏览: 16
设二叉树T上的分支结点数为b,叶子结点数为l,度为1的结点数为d1。我们需要证明以下命题:
当且仅当二叉树T上度为1的结点只有1个时,有b = l。
证明:
1. 当二叉树T上度为1的结点只有1个时,可以将二叉树T分为三部分:根节点、度为1的结点和叶子结点。由于度为1的结点只有1个,所以根节点和叶子结点的数量相等,即l = b / 2。因此有b = 2l,即b = l。
2. 当二叉树T上度为1的结点有多个时,设度为1的结点数为d1,则二叉树T上的结点总数为n = l + b + d1 + 1。因为度为1的结点只有1个时,n = 2l + 1,所以当d1 > 1时,n > 2l + 1,即b > l,不满足b = l的条件。
综上所述,当且仅当二叉树T上度为1的结点只有1个时,有b = l。
相关问题
882个结点的二叉树中,365个叶子节点,求度为1和度为2的结点数
对于一棵二叉树,设度为1的结点数为x,度为2的结点数为y,则有以下关系式:
1. 总结点数 = 叶子节点数 + 度为1的结点数 + 度为2的结点数 - 1 (根节点没有父节点,故要减去1)
即 882 = 365 + x + y - 1
2. 度为1的结点个数 = 度为2的结点个数 + 1
即 x = y + 1
将第二个式子代入第一个式子,得到:
882 = 365 + y + 1 + y - 1
化简可得:y = 258
再代入第二个式子,得到:
x = y + 1 = 259
因此,这棵二叉树中,度为1的结点数为259,度为2的结点数为258。
二叉树T的高度为h,T中只有度为0和2的结点,则T的结点数至少为( )
根据二叉树的性质,假设树中有 $n$ 个结点,度为2的结点数为 $m$,则度为0的结点数为 $m+1$。因为树中所有结点的度数之和为 $2n-2$,所以 $2m+(m+1)=2n-2$,即 $n=3m+1$。又因为树的高度为 $h$,所以 $n \leqslant 2^{h+1}-1$。将 $n=3m+1$ 代入得 $3m+1 \leqslant 2^{h+1}-1$,即 $m \leqslant \frac{1}{3}(2^{h+1}-2)$。因为 $m$ 为整数,所以 $m \leqslant \lfloor \frac{1}{3}(2^{h+1}-2) \rfloor$。因此,二叉树T的结点数至少为 $\lfloor \frac{1}{3}(2^{h+1}-2) \rfloor +1$。