M= (P_t × P_s^T)(P_s × P_s^T)^(−1)请解释这里的最小二乘法是如何用的?
时间: 2024-04-08 07:36:18 浏览: 18
在给定的方程中,我们可以看到涉及到两个矩阵P_t和P_s,以及它们的转置矩阵P_s^T。我们可以将其表示为M = (P_t × P_s^T)(P_s × P_s^T)^(−1)。
这个表达式可以看作是通过最小二乘法来计算矩阵M的伪逆。伪逆矩阵是一种广义逆矩阵,它可以用来解决矩阵不满秩的情况,即当矩阵P_s不是一个满秩矩阵时。
首先,我们可以注意到(P_s × P_s^T)^(−1) 是矩阵P_s × P_s^T的逆矩阵。这个逆矩阵可以通过求解正规方程组 (P_s × P_s^T) x = I 来计算,其中I是单位矩阵。
接下来,我们将其与(P_t × P_s^T)相乘,得到(P_t × P_s^T)(P_s × P_s^T)^(−1)。这个表达式的计算结果是一个伪逆矩阵,用于将矩阵P_s的列空间投影到矩阵P_t的行空间上。
总结起来,这里的最小二乘法是通过计算矩阵P_s与其转置矩阵的逆矩阵的乘积,来求解矩阵M的伪逆。这个方法可以用于处理矩阵不满秩的情况,并将P_s的列空间投影到P_t的行空间上。
相关问题
如何化简cov = 1/n∑_i=0^n▒P_i∙P_i^T−(1/n∑_i=0^n▒P_i)∙(1/n∑_i=0^n▒P_i)^T
我们可以将协方差矩阵的式子进行展开和化简:
首先,将上式中的第一项展开,得到:
1/n∑_i=0^n▒P_i∙P_i^T = (P_0∙P_0^T + P_1∙P_1^T + ... + P_n∙P_n^T) / n
然后,将上式中的第二项展开,得到:
1/n∑_i=0^n▒P_i = (P_0 + P_1 + ... + P_n) / n
将其平方并展开,得到:
(1/n∑_i=0^n▒P_i)∙(1/n∑_i=0^n▒P_i)^T = (P_0 + P_1 + ... + P_n)∙(P_0 + P_1 + ... + P_n)^T / n^2
将其代入原始式子中,得到:
cov = (P_0∙P_0^T + P_1∙P_1^T + ... + P_n∙P_n^T) / n - (P_0 + P_1 + ... + P_n)∙(P_0 + P_1 + ... + P_n)^T / n^2
以上就是化简后的协方差矩阵的式子。
假设数列x_1=0,x_n=2x_n−1+1,求前n+1项之和S_n+1=∑_i=1^n+1▒x_n,此时n=5
我们可以先求出前n项之和S_n,然后再加上第n+1项x_n+1即可得到S_n+1。
根据题目给出的递推式,可以得到:
x_2 = 2x_1 + 1 = 1
x_3 = 2x_2 + 1 = 3
x_4 = 2x_3 + 1 = 7
x_5 = 2x_4 + 1 = 15
x_6 = 2x_5 + 1 = 31
因此,前5项之和为:
S_5 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5
= 0 + 1 + 3 + 7 + 15
= 26
再加上第6项x_6,就可以得到前6项之和:
S_6 = S_5 + x_6
= 26 + 31
= 57
因此,当n=5时,前n+1项之和S_n+1为57。