一维空间时间线性平流方程迎风格式数值解python

一维空间时间线性平流方程可以使用迎风格式进行数值求解。以下是Python代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

nx = 101 # 空间节点数
nt = 100 # 时间节点数
dx = 2 / (nx - 1) # 空间步长
dt = 0.01 # 时间步长
c = 1 # 平流速度

u = np.ones(nx) # 定义初始条件，u=1
u[int(0.5 / dx):int(1 / dx + 1)] = 2 # 在0.5<=x<=1之间设置u=2

un = np.ones(nx) # 定义数组un，用于保存上一步的u值

for n in range(nt):
un = u.copy() # 将当前u值保存在un数组中
for i in range(1, nx):
if c >= 0:
u[i] = un[i] - c * dt / dx * (un[i] - un[i - 1]) # 迎风格式（c>0）
else:
u[i] = un[i] - c * dt / dx * (un[i + 1] - un[i]) # 迎风格式（c<0）

plt.plot(np.linspace(0, 2, nx), u) # 绘制数值解
plt.show()

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用松野迭代格式计算一维线性平流方程的数值解的python代码

一维线性平流方程可以写成以下形式：

$$\frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x} = 0$$

其中 $u$ 是未知函数，$a$ 是常数。为了使用松野迭代格式求解该方程，我们需要将其离散化。可以采用向前差分和向后差分的方式对时间和空间进行离散化，得到以下差分方程：

$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t} + a\frac{u_i^n-u_{i-1}^n}{\Delta x} = 0$$

其中 $u_i^n$ 表示在时间 $n\Delta t$ 和位置 $i\Delta x$ 处的解，$\Delta t$ 和 $\Delta x$ 分别表示时间和空间上的离散化步长。

接下来，我们可以将上述差分方程改写为松野迭代格式的形式：

$$u_i^{n+1} = \frac{1}{1+\frac{a\Delta t}{\Delta x}}u_i^n + \frac{a\Delta t}{\Delta x(1+\frac{a\Delta t}{\Delta x})}(u_{i-1}^{n+1}+u_{i+1}^{n})$$

根据上述公式，我们可以写出以下求解一维线性平流方程的松野迭代格式的 Python 代码：

import numpy as np

def solve_linear_advection(a, u0, dx, dt, t):
    # 计算空间和时间上的离散化步长
    nx = len(u0)
    nt = int(t/dt)
    
    # 初始化解矩阵
    u = np.zeros((nt+1, nx))
    u[0,:] = u0
    
    # 计算迭代系数
    alpha = a*dt/dx
    beta = 1/(1+alpha)
    
    # 迭代求解
    for n in range(nt):
        for i in range(1,nx-1):
            u[n+1,i] = beta*u[n,i] + alpha*beta*(u[n,i-1]+u[n,i+1])
        # 边界条件
        u[n+1,0] = u[n+1,-1] = 0
    
    return u

其中，`a` 表示平流速度，`u0` 表示初始解，`dx` 和 `dt` 分别表示空间和时间上的离散化步长，`t` 表示求解的总时间。函数返回一个 $nt+1\times nx$ 的矩阵，其中第 $n$ 行表示时间 $n\Delta t$ 时的解。注意，在上述代码中，我们假设边界条件为 $u=0$。如果有其他边界条件，需要对代码进行相应的修改。

迎风格式计算一维线性平流方程数值解的python代码

以下是一维线性平流方程的迎风格式计算的 Python 代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义计算参数
nx = 101  # 网格数
nt = 100  # 时间步数
dx = 2 / (nx - 1)  # 空间步长
dt = 0.02  # 时间步长
c = 1  # 平流速度

# 初始化初始条件
u = np.ones(nx)
u[int(0.5/dx):int(1/dx+1)] = 2

# 迭代计算
un = np.ones(nx)
for n in range(nt):
    un = u.copy()
    for i in range(1, nx):
        u[i] = un[i] - c * dt / dx * (un[i] - un[i-1])

# 绘制计算结果
plt.plot(np.linspace(0, 2, nx), u)
plt.show()

代码解释：

1. 首先定义计算参数，包括网格数、时间步数、空间步长、时间步长、平流速度等。
2. 初始化初始条件，即定义初始状态下的 u 值。
3. 迭代计算，使用迎风格式计算一维线性平流方程的数值解。其中，un 表示上一个时间步的 u 值，i 表示网格位置。
4. 绘制计算结果，使用 matplotlib 库绘制 u 随空间位置变化的曲线。