用python程序语言使用迎风格式求一维线性平流方程的数值解和解析解

一维线性平流方程的数值解和解析解如下：

数值解：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义问题参数
c = 1.0  # 平流速度
L = 1.0  # 区域长度
T = 1.0  # 模拟时间
nx = 101  # 空间网格数
nt = 1000  # 时间步数
dx = L / (nx - 1)  # 空间步长
dt = T / nt  # 时间步长
x = np.linspace(0, L, nx)  # 空间网格点

# 初始化数值解和初始条件
u = np.zeros(nx)
u0 = np.sin(np.pi * x) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * x)
u[1:-1] = u0[1:-1]

# 数值求解
for n in range(nt):
    un = u.copy()
    for i in range(1, nx - 1):
        u[i] = un[i] - c * dt / dx * (un[i] - un[i - 1])
        
# 绘图
plt.plot(x, u, label='Numerical')
plt.plot(x, u0, label='Analytical')
plt.legend()
plt.show()

解析解：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义问题参数
c = 1.0  # 平流速度
L = 1.0  # 区域长度
T = 1.0  # 模拟时间
nx = 101  # 空间网格数
dx = L / (nx - 1)  # 空间步长
x = np.linspace(0, L, nx)  # 空间网格点

# 定义解析解
def u_exact(x, t):
    return np.sin(np.pi * (x - c * t)) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * (x - c * t))

# 初始化解析解和初始条件
u0 = u_exact(x, 0.0)

# 绘图
plt.plot(x, u_exact(x, T), label='Analytical')
plt.plot(x, u0, label='Initial')
plt.legend()
plt.show()