$$m\frac{d^2\boldsymbol{p}}{dt^2} = F_{total}’ + F_g$$是什么意思
时间: 2024-06-17 14:07:53 浏览: 8
这是牛顿第二定律的扩展形式,其中$m$是物体的质量,$\boldsymbol{p}$是物体的动量,$t$是时间,$F_{total}'$是物体所受合外力,$F_g$是物体所受重力。这个方程描述了物体在外力和重力的作用下,如何随时间变化而改变其动量的大小和方向。其中,$m\frac{d^2\boldsymbol{p}}{dt^2}$表示物体动量的变化率(即物体加速度),根据牛顿第二定律,它应该等于物体所受合外力的大小与方向之和。同时,该方程还考虑了物体所受的重力作用。
相关问题
$$m\frac{d^2\boldsymbol{p}}{dt^2} = F_{total}’ + F_g$$将此式化为一般形式
这个公式是牛顿第二定律的扩展形式,描述了物体在重力场中受到的合力作用。这个公式可以进一步化为一般形式,即$$\boldsymbol{F}_{\text{net}}=m\frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}$$其中,$\boldsymbol{F}_{\text{net}}$表示物体所受合力,$m$表示物体的质量,$\boldsymbol{x}$表示物体的位移。这个公式是牛顿第二定律的标准形式,描述了物体受到合力作用时的加速度情况。
计算$$ \int_0^{\sqrt{3} a} \frac{d x}{d^2+x^2} $$
要计算$$ \int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{2\frac{d^2x}{dx^2}} $$
可以使用代换法,令$y=\frac{dx}{d\theta}$,则$\frac{d^2x}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{d\theta}{dx}=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{1}{y}$,因此原积分可表示为
$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{2\frac{d^2x}{dx^2}}=\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{y d\theta}{2\frac{d}{d\theta}\left(\frac{dy}{dx}\right)\frac{1}{y}}=\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{y^2}{2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}} d\theta$$
接下来可以使用分部积分法计算积分。令$u=y$,$dv=\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}d\theta$,则$du=dy$,$v=\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$,于是有
$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{y^2}{2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}} d\theta = \frac{y^2}{2}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right]_0^{\sqrt{3}a}-\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{3}a} \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 d\theta$$
注意到$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\frac{y}{dx/d\theta}$,因此
$$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2=\left(\frac{y}{dx/d\theta}\right)^2=\left(\frac{y}{\frac{dx}{d\theta}}\right)^2=y^2$$
代入上式得
$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{y^2}{2\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}} d\theta = \frac{y^2}{4}\Big|_0^{\sqrt{3}a} -\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{3}a} y^2 d\theta=\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{4}$$
因此,$$\int_0^{\sqrt{3}a} \frac{dx}{2\frac{d^2x}{dx^2}}=\frac{a^2}{4}$$