θ(g(n) =O(g(n))∧Ω(g(n))证明
时间: 2023-12-03 11:37:57 浏览: 47
根据定义,当存在正常数c1和c2以及n0时,对于所有的n≥n0,都有0≤c1g(n)≤θ(g(n))≤c2g(n)成立。因此,当θ(g(n))=O(g(n))且θ(g(n))=Ω(g(n))时,我们需要证明存在c1、c2和n0,使得对于所有的n≥n0,都有0≤c1g(n)≤θ(g(n))≤c2g(n)成立。
由于θ(g(n))=O(g(n)),因此存在正常数c3和n1,使得对于所有的n≥n1,都有θ(g(n))≤c3g(n)成立。同样地,由于θ(g(n))=Ω(g(n)),因此存在正常数c4和n2,使得对于所有的n≥n2,都有θ(g(n))≥c4g(n)成立。
现在,我们可以选择c1=c4和c2=c3,并选择n0=max(n1,n2)。因此,对于所有的n≥n0,都有0≤c1g(n)≤θ(g(n))≤c2g(n)成立,证明了θ(g(n))=O(g(n))且θ(g(n))=Ω(g(n))。因此,θ(g(n))=Θ(g(n))。
相关问题
对于下列各组函数 f(n)和 g(n),确定 f(n)=O(g(n))或 f(n)=Ω(g(n))或 f(n)=θ(g(n)), 并简述理由。
1. f(n) = n^2 + 2n + 1, g(n) = n^2
f(n) = n^2 + 2n + 1 <= 4n^2 for n >= 1
Therefore, f(n) = O(g(n))
2. f(n) = nlogn, g(n) = n
f(n) = nlogn >= n for n >= 1
Therefore, f(n) = Ω(g(n))
3. f(n) = n^3, g(n) = n^2
f(n) = n^3 >= n^2 for n >= 1
Therefore, f(n) = Ω(g(n))
4. f(n) = 2^n, g(n) = 3^n
As f(n) and g(n) are exponential functions with different bases, it is not possible to compare them using big-O, big-Ω, or big-θ notations.
请简述符号t(n)∈θ(g(n))
符号t(n)∈θ(g(n))表示一个函数t(n)属于函数集合θ(g(n)),其中θ(g(n))表示一个渐近紧密界定的函数集合,该集合中的函数g(n)是t(n)的上界和下界。
具体地说,如果t(n)∈θ(g(n)),则存在正常数c1和c2,以及对于所有足够大的n,有如下不等式成立:
c1 * g(n) ≤ t(n) ≤ c2 * g(n)
其中c1和c2是常数,且c1>0。
这意味着函数t(n)的增长速度和函数g(n)的增长速度相似,它们之间存在线性关系。同时,t(n)可以被g(n)的上界和下界所界定。
符号t(n)∈θ(g(n))可以用来描述算法的时间复杂度,其中t(n)表示算法在输入大小为n的情况下所需的运行时间,而g(n)则表示渐近紧密界定的函数集合,用来描绘算法的时间复杂度的增长趋势。
总之,符号t(n)∈θ(g(n))可以表明函数t(n)的增长速度和函数g(n)的增长速度相似,并且t(n)可以由g(n)的上界和下界所界定。