f = lambda x: max(abs(x)-1,0)
时间: 2023-11-22 22:05:13 浏览: 144
这是一个 lambda 函数的定义,它的函数名是 `f`,参数是 `x`。这个函数的作用是返回 `abs(x)-1` 和 `0` 中的较大值。
具体来说,当 `abs(x) > 1` 时,返回 `abs(x)-1`,否则返回 `0`。可以将其视为一个以 $x$ 为自变量的分段函数,当 $|x| \leq 1$ 时函数值为 $0$,当 $|x| > 1$ 时函数值随 $|x|$ 线性增长。
这种函数在机器学习中常见,例如用于实现 L1 正则化。
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详细解释这段代码:function [x ft] = EProjSimplex_new(v, k) % %% Problem % % min 1/2 || x - v||^2 % s.t. x>=0, 1'x=k % if nargin < 2 k = 1; end; ft=1; n = length(v); v0 = v-mean(v) + k/n; %vmax = max(v0); vmin = min(v0); if vmin < 0 f = 1; lambda_m = 0; while abs(f) > 10^-10 v1 = v0 - lambda_m; posidx = v1>0; npos = sum(posidx); g = -npos; f = sum(v1(posidx)) - k; lambda_m = lambda_m - f/g; ft=ft+1; if ft > 100 x = max(v1,0); break; end; end; x = max(v1,0); else x = v0; end;
这段代码实现了求解以下优化问题的算法:
$$\begin{aligned} &\min_{x\in \mathbb{R}^n} \frac{1}{2}\|x-v\|^2 \\ &\text{s.t. } x\geq 0,\quad \mathbf{1}^\top x=k \end{aligned}$$
其中,$v\in \mathbb{R}^n$ 为给定向量,$k\in \mathbb{R}$ 为常数,$\mathbf{1}\in \mathbb{R}^n$ 为全1向量。
具体地,该算法实现了欧几里得投影法来求解上述问题。解析式为:
$$x = \mathcal{P}(v) = [\max(v_1-\theta,0),\dots,\max(v_n-\theta,0)]$$
其中,$\theta = \frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n v_i-k)_+$,$(\cdot)_+=\max\{\cdot,0\}$。
该算法的具体实现如下:
```matlab
function [x ft] = EProjSimplex_new(v, k)
% 求解问题:
% min 1/2 || x - v||^2
% s.t. x>=0, 1'x=k
if nargin < 2
k = 1;
end
ft=1; n = length(v);
v0 = v-mean(v) + k/n; % 中心化
vmin = min(v0); % 寻找最小值
if vmin < 0
f = 1; lambda_m = 0;
while abs(f) > 10^-10
v1 = v0 - lambda_m;
posidx = v1>0;
npos = sum(posidx);
g = -npos;
f = sum(v1(posidx)) - k;
lambda_m = lambda_m - f/g;
ft=ft+1;
if ft > 100
x = max(v1,0);
break;
end
end
x = max(v1,0);
else
x = v0;
end
```
具体来说,该函数的输入参数为一个行向量 $v$ 和一个标量 $k$,输出为一个行向量 $x$ 和一个迭代次数 $ft$。其中,$x$ 为上述优化问题的最优解,$ft$ 表示算法需要迭代的次数。
算法的具体实现步骤如下:
1. 对 $v$ 进行中心化,即令 $v_0= v-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n v_i+\frac{k}{n}$;
2. 寻找 $v_0$ 的最小值 $v_{\min}$;
3. 如果 $v_{\min}\geq 0$,则直接返回 $v_0$;
4. 否则,使用欧几里得投影法迭代求解最优解 $x$:
- 初始化 $\lambda_m = 0$ 和 $f=1$;
- 当 $|f|>10^{-10}$ 且迭代次数 $ft\leq 100$ 时,执行以下操作:
1. 计算 $v_1 = v_0-\lambda_m$;
2. 找到 $v_1$ 中所有大于0的元素,得到下标集合 $posidx$ 和个数 $npos$;
3. 计算 $f = \sum_{i=1}^n (v_{1,i})_{+} - k$ 和 $g = -npos$;
4. 令 $\lambda_m = \lambda_m - f/g$;
5. 执行迭代次数加1;
- 如果迭代次数超过100次,直接返回 $x=\max\{v_1,0\}$;
- 否则,返回 $x=\max\{v_1,0\}$。
其中,$(\cdot)_{+}=\max\{\cdot,0\}$。
lambda=y'*x/(y'y); %计算瑞利商 z=abs(x-lambday); 请给出上面两行代码在下列函数中的正确写法以下是幂法函数代码的瑞利商加速法的代码: function [lambda,x,k]=rayleigh_quotient_acceleration(A,x0,tol,maxit) %瑞利商加速法 clc; digits(9); k=1; u=0; %u用来记录上一次循环得到的alpha [m,n]=size(x0); y=zeros(m,n); y=x0; %y为初始向量 while k<=maxit x=A*y; lambda=y'*x/(y'y); %计算瑞利商 z=abs(x-lambday); %计算残差 [m,p]=max(z); %找出残差的最大值及位置 y=x/z(p); %加速后的向量 fprintf('第%d次迭代\n',k); fprintf('lambda=%.8f\n',lambda); disp(vpa(x')); disp(vpa(y')); if abs(lambda-u)<tol break else k=k+1; u=lambda; end end
以下是修改后的代码:
```matlab
function [lambda,x,k]=rayleigh_quotient_acceleration(A,x0,tol,maxit)
%瑞利商加速法
clc;
digits(9);
k=1;
u=0; %u用来记录上一次循环得到的alpha
[m,n]=size(x0);
y=zeros(m,n);
y=x0; %y为初始向量
while k<=maxit
x=A*y;
lambda=y'*x/(y'*y); %计算瑞利商
z=abs(x-lambda*y); %计算残差
[m,p]=max(z); %找出残差的最大值及位置
y=x/z(p); %加速后的向量
fprintf('第%d次迭代\n',k);
fprintf('lambda=%.8f\n',lambda);
disp(vpa(x'));
disp(vpa(y'));
if abs(lambda-u)<tol
break;
else
k=k+1;
u=lambda;
end
end
```