雅可比迭代法算法伪代码
时间: 2023-11-25 22:51:25 浏览: 62
以下是雅可比迭代法算法的伪代码:
输入:系数矩阵A,常数向量b,初始解向量x0,迭代精度tol
输出:线性方程组Ax=b的解
repeat
for i = 1 to n do
sum = 0
for j = 1 to n do
if j ≠ i then
sum = sum + a[i][j] * x[j]
end if
end for
x[i] = (b[i] - sum) / a[i][i]
end for
until ||x - x0|| < tol
其中,n为方程组的未知数个数,a[i][j]表示系数矩阵A的第i行第j列元素,b[i]表示常数向量b的第i个元素,x[i]表示解向量x的第i个元素,tol为迭代精度。
相关问题
雅可比迭代法的算法原理
雅可比迭代法是一种求解线性方程组的迭代方法。假设线性方程组为 $Ax=b$,其中 $A$ 为系数矩阵,$b$ 为常数向量,$x$ 为未知向量。雅可比迭代法的基本思想是将方程组改写为 $x=D^{-1}(b-Rx)$ 的形式,其中 $D$ 为 $A$ 的对角线元素构成的对角矩阵,$R=A-D$。
具体来说,雅可比迭代法的算法流程如下:
1. 给定初始解 $x^{(0)}$ 和迭代次数 $k$,令 $i=1$。
2. 计算 $x^{(i)}=D^{-1}(b-Rx^{(i-1)})$。
3. 如果 $i<k$,则令 $i=i+1$,返回第 2 步;否则返回 $x^{(k)}$。
雅可比迭代法的收敛性条件是原方程组的系数矩阵 $A$ 是对角占优的,即对于每个方程 $i$,$|a_{ii}| \geq \sum_{j \neq i} |a_{ij}|$。在这种情况下,雅可比迭代法是收敛的,并且收敛速度比较慢。如果 $A$ 不是对角占优的,可以考虑使用高斯-赛德尔迭代或超松弛迭代等更快的迭代方法。
雅可比迭代法python代码
以下是雅可比迭代法的Python代码:
```python
import numpy as np
def jacobi_iter(A, b, x0, N, p):
"""
:param A: 原系数矩阵
:param b: 原值矩阵
:param x0: 初始解向量
:param N: 最大迭代次数
:param p: 精度要求
:return: 迭代结果向量,迭代历史向量,迭代次数
"""
n = len(A)
x = x0.copy()
h = np.zeros((N, n))
k = 0
while k < N:
for i in range(n):
s = 0
for j in range(n):
if j != i:
s += A[i][j] * x[j]
x[i] = (b[i] - s) / A[i][i]
h[k] = x
if np.linalg.norm(np.dot(A, x) - b) < p:
break
k += 1
return x, h[:k], k
# 使用范例
A = np.array([[10, 3, 1], [2, -10, 3], [1, 3, 10]])
b = np.array([14, -5, 14])
x0 = np.array([0, 0, 0])
N = 100
p = 0.00000001
x, h, k = jacobi_iter(A, b, x0, N, p)
print("迭代结果向量:", x)
print("迭代历史向量:", h)
print("迭代次数:", k)
```