设随机变量（x，y）在区域D=[0＜x＜2，0＜y＜2]内服从均匀分布，求，Z=xy的概率密度函数

首先可以写出随机变量（x，y）的联合概率密度函数为：

f(x,y) = 1/4, 0 < x < 2, 0 < y < 2

接下来，我们可以利用变量变换的方法来求得Z=xy的概率密度函数。设变量变换为：

u = xy, v = y

则反函数为：

x = u/v, y = v

并且雅可比行列式为：

|J| = |∂(x,y)/∂(u,v)| = |1/v u/v^2| = 1/v

因此，我们可以得到Z=xy的概率密度函数为：

fz(z) = ∫∫f(x,y)|J|dxdy

= ∫∫1/4v δ(z-xy) dxdy

= ∫0^2 ∫z/y^2 2/y 1/4 dxdy, 0 < z < 4

= ∫0^2 1/2z/y^2 dy, 0 < z < 4

= -1/2[z/y]0^2

= 1/2z, 0 < z < 4

综上所述，Z=xy的概率密度函数为：

fz(z) = 1/2z, 0 < z < 4

相关问题

设随机变量（x，y）在区域D=[0＜x＜2，0＜y＜1]内服从均匀分布，求，Z=xy的概率密度函数

首先可以列出Z=xy的取值范围为[0,2)。接下来，可以通过变量变换法求出Z的概率密度函数。

设变量变换为：

u = x

v = xy

则反函数为：

x = u

y = v/u

通过计算Jacobian行列式可以得到：

|J| = |∂(x,y)/∂(u,v)| = |1 0| = 1

因此，有：

f_UV(u,v) = f_XY(x,y)|J| = 1/2

因为X和Y在D区域内服从均匀分布，所以它们的概率密度函数为：

f_XY(x,y) = 1/(2×1) = 1/2

综上所述，Z=xy的概率密度函数为：

f_Z(z) = ∫f_UV(u,z/u)|du| = ∫₀²1/2×1/u|du| = 1/2×ln(2/z)，其中0＜z＜2。

设随机变量（x，y）在区域D=[0＜x＜2，0＜y＜1]内服从均匀分布，求，Z=xy的概率密度函数。

我们可以通过联合分布函数和边缘分布函数求解。首先，联合分布函数为：

F(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(0 ≤ X ≤ x, 0 ≤ Y ≤ y)
= (x/2) * y

其中，P(0 ≤ X ≤ x, 0 ≤ Y ≤ y)表示(X, Y)在区域D内的概率，由于X和Y都是均匀分布，所以概率密度函数为f(x,y) = 1/(2*1) = 1/2。

接下来，我们可以通过边缘分布函数求解Z=XY的概率密度函数：

f(z) = ∫∫f(x,y) * δ(z-xy) dxdy
= ∫∫f(x,y) * δ(z-xy) dydx
= ∫0^2(1/2) * δ(z-xy) dx

其中，δ(z-xy)表示单位脉冲函数，当z=xy时取值为无穷大，否则为0。因此，当z在[0,1]区间内时，上式中δ(z-xy)的取值为1，可以将其代入上式，得到：

f(z) = ∫0^z(1/2) * (1/x) dx + ∫z^2(1/2) * (1/x) dx
= (1/2) * ln(z)

当z不在[0,1]区间内时，f(z)的取值为0。

因此，Z=XY的概率密度函数为：

f(z) = (1/2) * ln(z) (0＜z＜1)
= 0 (其他情况)