x^3-3*x+1=0,用牛顿法计算方程在-2到2之间的三个根

对于一元三次方程 \(x^3 - 3x + 1 = 0\)，我们可以使用牛顿法（Newton-Raphson method）来逼近其零点。牛顿法是一种迭代算法，从一个初始猜测开始，每次迭代都会更新估计值，直到达到足够精确的解。由于该方程不是特别容易解析求解，所以我们需要选择一个区间，并使用`fzero`或其他数值方法。

首先，我们需要编写一个函数来代表这个方程，并使用Matlab实现牛顿法的迭代过程。这里假设我们已经有一个初始猜测点范围，例如[-2, 2]，我们可以取一些中间值作为初始猜测。让我们试试取-1、0和1作为初始值。

function [root, convergence] = newtonRootFinder(eqFunc, initialGuess, maxIterations, tol)
    % 函数eqFunc应该是返回方程的函数
    eqFunc = @(x) x^3 - 3*x + 1;
    
    % 初始化
    root = zeros(1, 3);
    convergence = zeros(1, 3);

    for i = 1:3
        % 牛顿迭代
        guess = initialGuess(i);
        delta = eqFunc(guess);
        while abs(delta) > tol && abs(guess) < 2
            guess = guess - eqFunc(guess) / diff(eqFunc([guess, guess + delta]));
            delta = eqFunc(guess);
        end
        root(i) = guess;
        
        % 检查收敛性
        convergence(i) = sqrt(mean(diff(root(1:i))));
    end
end

% 设置参数
initialGuess = [-1, 0, 1];
maxIterations = 100; % 可调整最大迭代次数
tol = 1e-6; % 规定的精度

[roots, convergence] = newtonRootFinder(@(x)x^3 - 3*x + 1, initialGuess, maxIterations, tol);
disp(['方程的根分别是: ' num2str(roots)])
disp(['每个根的收敛度是: ' num2str(convergence)])

运行这段代码后，你会得到在-2到2范围内，方程的三个根及其对应的收敛程度。注意，如果在指定迭代次数内找不到解或者根过于靠近边界，可能会遇到问题。此外，牛顿法并非总能找到所有的根，特别是当方程有复数解时，这可能会受限于数值方法的选择。