python高斯迭代法求解方程

Python中的高斯迭代法，也称为高斯消元法，是一种用于求解线性方程组的数值方法。它通过将方程组转化为矩阵的形式，然后逐步降低系数矩阵的秩，直到得到一个非奇异系统，进而求得解。以下是基本步骤：

1. **构建增广矩阵**：对于一组方程 Ax = b，将其转换成增广矩阵形式 [A | b]。

2. **行初等变换**：应用一系列行操作（如交换、倍加或倍减某一行），使得矩阵变为上三角矩阵（如果系数矩阵是对称的，则为对角矩阵），同时保持右侧b列不变。

3. **回代求解**：从最后一行开始，利用已知的元素计算出未知数的值，并向上递推，直至所有未知数都求出。

4. **检验解**：检查最后得到的结果是否满足原方程组。

在Python中，可以使用numpy库的linalg.solve()函数直接求解线性方程组，但如果需要实现高斯迭代法作为教学或理解过程，可以手动编写类似上述步骤的代码。

import numpy as np

def gauss_elimination(A, b):
    n = len(A)
    for i in range(n):
        # 消元
        for j in range(i + 1, n):
            ratio = A[j][i] / A[i][i]
            for k in range(i, n+1):
                A[j][k] -= ratio * A[i][k]
        # 回代
        A[i, n] /= A[i][i]
        for j in range(i+1, n):
            b[j] -= A[j][i] * A[i, n]
    return b

# 示例：
A = np.array([[4, 7], [5, 9]])
b = np.array([8, 10])
solution = gauss_elimination(A, b)
print("Solution:", solution)