用递归函数求球落地的高度
时间: 2023-11-06 08:09:38 浏览: 33
假设球从高度h0落下,每次弹起的高度为原来高度的一半(弹起的瞬间没有能量损失),问球在第n次落地时,共经过了多少米?最后反弹的高度是多少?
可以用递归函数来解决这个问题。假设函数 `fall_height(n)` 表示球在第n次落地时的高度,那么有如下的递归关系式:
1. 第一次落地时,球共经过了 h0 米,即 `fall_height(1) = h0`。
2. 在第二次落地之前,球会弹起一次,弹起的高度为 h0 的一半,即 h0/2。所以第二次落地时,球共经过了 2h0 米,即 `fall_height(2) = 2*h0`。
3. 在第三次落地之前,球会弹起两次,第一次弹起的高度为 h0/2,第二次弹起的高度为 h0/4,共弹起 h0/2 + h0/4 = h0/2. 所以第三次落地时,球共经过了 2h0 + h0/2 米,即 `fall_height(3) = 2*h0 + h0/2`。
4. 以此类推,第n次落地时,球共经过了 $2h_0(1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^{n-1})$ 米,即 `fall_height(n) = 2*h0*(1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^(n-1))`。
最后,球反弹的高度就是 h0/2^n。
下面是一个求解球落地高度和反弹高度的 Python 代码示例:
```python
def fall_height(h0, n):
if n == 1:
return h0
else:
return 2*h0*(1 + 0.5 + 0.25 + ... + 0.5**(n-2))
def rebound_height(h0, n):
return h0 / (2**n)
# 示例
h0 = 10
n = 3
print(f"第{n}次落地时球共经过了{fall_height(h0, n)}米")
print(f"第{n}次落地后球反弹的高度为{rebound_height(h0, n)}米")
```