前向欧拉法 python

前向欧拉法（Forward Euler Method）是一种数值求解微分方程的方法，它基于微分方程的初始值和斜率来计算下一个时间步的函数值。在 Python 中，可以通过编写如下的函数来实现前向欧拉法：

def forward_euler(f, x0, t0, t1, dt):
    """
    Solve an ODE using Forward Euler method.

    Parameters
    ----------
    f : function
        A function that computes the derivative of the function to be solved.
        It should take two arguments, the current time `t` and the current value
        of the function `x`, and return the derivative at that point.
    x0 : float
        The initial value of the function to be solved.
    t0 : float
        The initial time.
    t1 : float
        The final time.
    dt : float
        The time step size.

    Returns
    -------
    t : list of float
        The array of time values.
    x : list of float
        The array of function values.
    """
    t = [t0]
    x = [x0]
    while t[-1] < t1:
        x_next = x[-1] + dt * f(t[-1], x[-1])
        x.append(x_next)
        t.append(t[-1] + dt)
    return t, x

其中，`f` 是计算微分方程的导数的函数，`x0` 是微分方程的初始值，`t0` 是初始时间，`t1` 是结束时间，`dt` 是时间步长。

例如，如果要求解微分方程 $y' = -y$，$y(0) = 1$，在时间 $t = 0$ 到 $t = 5$ 的范围内，可以通过如下代码来实现：

import math

def f(t, y):
    return -y

t, y = forward_euler(f, 1, 0, 5, 0.1)

for ti, yi in zip(t, y):
    print(ti, yi, math.exp(-ti))

这里，我们定义了函数 `f` 来计算微分方程的导数，然后调用 `forward_euler` 函数来求解微分方程。最后，我们将求解得到的结果与解析解进行比较，并输出结果。