（sin（x））^-1的积分

这里的（sin（x））^-1是sin(x)的反函数，也就是arcsin(x)，因此积分为：

∫（sin（x））^-1 dx = ∫arcsin(x) dx

我们可以使用分部积分法来求解这个积分：

令 u = arcsin(x)，dv = dx，则 du/dx = 1/√(1-x^2)，v = x

∫arcsin(x) dx = xarcsin(x) - ∫x * (1/√(1-x^2)) dx

令 u = 1/√(1-x^2)，dv = x dx，则 du/dx = x/[(1-x^2)^(3/2)]，v = 1/2 * x^2

∫arcsin(x) dx = xarcsin(x) - x√(1-x^2)/2 + ∫(1/√(1-x^2)) * x^2 dx

对最后一个积分再次使用分部积分法：

令 u = x，dv = (1/√(1-x^2)) dx，则 du/dx = 1，v = arcsin(x)

∫(1/√(1-x^2)) * x^2 dx = x * arcsin(x) - ∫arcsin(x) dx

将∫arcsin(x) dx代入上式：

∫(1/√(1-x^2)) * x^2 dx = x * arcsin(x) - x√(1-x^2)/2 - ∫xarcsin(x) dx

移项得：

2∫arcsin(x) dx = x * arcsin(x) - x√(1-x^2)/2 + x * arcsin(x) - 2∫arcsin(x) dx

化简得：

3∫arcsin(x) dx = x * arcsin(x) - x√(1-x^2)/2

最终结果为：

∫arcsin(x) dx = (2/3) * x * arcsin(x) + (1/3) * x√(1-x^2) + C，其中C为常数。