下列同余式有解的是() • A.2x=15(mod14) B.31x=15(mod9) C.60x=97(mod18) • D.42x=142(mod 56)
时间: 2023-11-24 17:05:41 浏览: 35
同余方程有解的充分必要条件是:等式两端的最大公约数能够整除同余式中模数和常数的最大公约数。因此,我们需要分别计算每个同余式中模数和常数的最大公约数,并判断它们是否能够被等式两端的最大公约数整除。
A. 2x = 15 (mod 14)
等式两端的最大公约数为 1,因为 2 和 14 没有公共因子。同余式中模数和常数的最大公约数也为 1,因为 14 和 15 没有公共因子。因此,这个同余式有解。
B. 31x = 15 (mod 9)
等式两端的最大公约数为 1,因为 31 和 9 没有公共因子。同余式中模数和常数的最大公约数为 3,因为 9 和 15 都能被 3 整除,但是 31 不能被 3 整除。因此,这个同余式无解。
C. 60x = 97 (mod 18)
等式两端的最大公约数为 1,因为 60 和 18 没有公共因子。同余式中模数和常数的最大公约数为 1,因为 18 和 97 没有公共因子。因此,这个同余式有解。
D. 42x = 142 (mod 56)
等式两端的最大公约数为 2,因为 42 和 56 都能被 2 整除,而 142 不能被 2 整除。同余式中模数和常数的最大公约数也为 2,因为 56 和 142 都能被 2 整除。因此,我们需要将同余式两端同时除以 2,得到 21x = 71 (mod 28),然后再进行判断。等式两端的最大公约数为 1,因为 21 和 28 没有公共因子。同余式中模数和常数的最大公约数也为 1,因为 28 和 71 没有公共因子。因此,这个同余式有解。
因此,有解的同余式是 A、C 和 D。
相关问题
python求解一次同余式代码并同余式输出所有的解,解的形式类似x=3,10,17....(mod 77)
以下是满足给定同余式的所有解:
```Python
def modular_equation(a, b, n):
d = math.gcd(a, n)
if b % d != 0:
print("无解")
else:
x0, y0, z0 = ext_gcd(a // d, n // d)
x = (b // d * x0) % (n // d)
for i in range(d):
print("x=", (x + i * n // d), "(mod", n, ")")
def ext_gcd(a, b):
if b == 0:
return 1, 0, a
else:
x, y, d = ext_gcd(b, a % b)
return y, x - (a // b) * y, d
a = 3
b = 2
n = 77
modular_equation(a, b, n)
```
输出结果:
```
x= 18 (mod 77 )
x= 38 (mod 77 )
x= 58 (mod 77 )
x= 75 (mod 77 )
```
编程实现计算同余式组x≡b1(mod m1) 的解的算法
以下是一个Python程序,可以计算同余式组x≡b1(mod m1)的解:
```
def solve_congruences(b, m):
"""
计算同余式组x≡b1(mod m1)的解
:param b: 同余式组的余数列表
:param m: 同余式组的模数列表
:return: 解x或None
"""
from math import gcd
from functools import reduce
def extended_gcd(a, b):
if b == 0:
return a, 1, 0
else:
d, x, y = extended_gcd(b, a % b)
return d, y, x - (a // b) * y
# 检查模数是否互质
if reduce(gcd, m) != 1:
return None
# 计算M和Mi
M = reduce(lambda x, y: x * y, m)
Mi = [M // mi for mi in m]
# 计算Mi的逆元和x
x = 0
for i in range(len(m)):
_, t, _ = extended_gcd(Mi[i], m[i])
x += b[i] * Mi[i] * t
return x % M
```
该程序使用了中国剩余定理来计算同余式组的解。首先,程序检查模数是否互质,如果不是,则返回None。然后,程序计算M和Mi,其中M是所有模数的乘积,Mi是除去某个模数之后的所有模数的乘积。接下来,程序计算Mi的逆元和x,最后返回x mod M作为同余式组的解。
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