A，B为同阶矩阵，矩阵的行列式，证明|A||B|=|AB|

当你有两个同阶矩阵A和B，它们都是n×n的方阵，矩阵乘法(AB)的结果还是一个n×n矩阵。矩阵的行列式是一个标量值，它对于方阵有独特的性质。其中的一个重要性质就是，如果两个可交换的矩阵相乘，其行列式的积等于各自行列式的乘积。这可以用公式表示为：

\[ \text{det}(AB) = \text{det}(A) \times \text{det}(B) \]

这意味着如果你有一个乘积矩阵AB，它的行列式就是原矩阵A的行列式和矩阵B的行列式的乘积，即：

\[ |AB| = |A| \cdot |B| \]

这里的 "|" 符号代表行列式。所以，只要矩阵A和B能够相乘（即它们的维度匹配），上述等式就成立。

相关问题

若A，B都是n阶矩阵，则|AB|=|A|*|B|如何证明

行列式的乘法性质告诉我们，如果两个方阵A和B的乘积存在，那么它们的行列式之积等于每个对应元素乘积后的行列式。对于两个同阶矩阵A和B，其行列式的乘积|AB|可以按照矩阵乘法规则，将A的每一行分别与B的所有列相乘，然后将结果相加。由于这是逐元素的计算，我们可以将其分解为：

\[ |AB| = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}b_{ij}) \]

这里\( a_{ij} \)是矩阵A的第i行第j列的元素，\( b_{ij} \)是矩阵B的对应元素。因为每个\( a_{ij} \)乘以对应的\( b_{ij} \)并求和，就相当于对每个元素应用A和B的行列式值：

\[ |A| = \prod_{k=1}^{n}a_{kk} \]
\[ |B| = \prod_{l=1}^{n}b_{ll} \]

因此，每个\( a_{ij}b_{ij} \)可以写作\( a_{ii}b_{jj} \)，因为\( i \)和\( j \)代表的是行和列的索引。所以整个乘积可以表示为：

\[ |AB| = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(a_{ii}b_{jj}) = \left( \prod_{i=1}^{n}a_{ii} \right) \left( \prod_{j=1}^{n}b_{jj} \right) = |A| \cdot |B| \]

这完成了对|AB|=|A|*|B|的证明。

6、设A、B为3阶矩阵，并且|A|=3，|B|=2，|A^(-1)+B|=2，则|A+B^(-1)|=

### 回答1：
由矩阵行列式性质，有$|AB|=|A||B|$ 和 $|A^{-1}|=|A|^{-1}$，则：

$$
|A+B^{-1}|=|A^{-1}A+A^{-1}B^{-1}||A+B^{-1}|=|A^{-1}(A+B^{-1})||A+B^{-1}|=|I_3+A^{-1}B^{-1}||A+B^{-1}|
$$

又因为$|A|=3$，$|B|=2$，$|A^{-1}+B|=2$，则：

$$
|A^{-1}B^{-1}|=\frac{|A^{-1}+B|-|A^{-1}||B|}{2}=\frac{2-3\times 2}{2}=-\frac{2}{2}=-1
$$

然后，根据行列式的定义展开计算：

$$
\begin{aligned}
|I_3+A^{-1}B^{-1}|&=\left|\begin{matrix}1-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&1-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1-\frac{1}{2}\end{matrix}\right|\\
&=\left|\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right|+\frac{1}{2}\left|\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right|-\frac{1}{2}\left|\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right|\\
&=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}
\end{aligned}
$$

综上所述，$|A+B^{-1}|=|I_3+A^{-1}B^{-1}||A+B^{-1}|=2\times \frac{5}{8}=\frac{5}{4}$。因此，$|A+B^{-1}|=\frac{5}{4}$。

### 回答2：
根据矩阵的性质，矩阵乘法满足结合律，即(A B)^(-1) = B^(-1) A^(-1)。

我们已知 |A^(-1) B| = 2，即 A^(-1) B 的行列式的值为2。

根据行列式的性质，行列式的值等于行列式的转置矩阵的值，即 |A^(-1) B| = |(A^(-1) B)^T|。

再根据矩阵转置的性质，矩阵的转置与行列式的乘法顺序无关，即 |(A^(-1) B)^T| = |B^T (A^(-1))^T|。

根据矩阵转置的性质，转置矩阵的逆等于原矩阵的逆的转置，即 (A^(-1))^T = (A^T)^(-1)。

将以上结果代入，得到 |A^(-1) B| = |B^T (A^(-1))^T| = |B^T (A^T)^(-1)|。

根据行列式的性质，行列式的乘积等于行列式的因子的乘积，即 |B^T (A^T)^(-1)| = |B^T| |(A^T)^(-1)|。

再根据矩阵的性质，行列式的值等于矩阵的行列式的值，即 |B^T| = |B|，|(A^T)^(-1)| = |(A^(-1))^T| = |A^(-1)|。

将以上结果代入，得到 |A^(-1) B| = |B^T| |(A^T)^(-1)| = |B| |A^(-1)|。

已知 |A| = 3，|B| = 2，代入上式，得到 |A^(-1) B| = |B| |A^(-1)| = 2 * 3 = 6。

因此，答案是 |A B^(-1)| = 6。

### 回答3：
题目中给出了两个矩阵A和B，且A是一个3阶矩阵，B也是一个3阶矩阵。已知 |A| = 3，|B| = 2，并且 |A^(-1) B| = 2。

|A|表示矩阵A的行列式，|A^(-1)|表示矩阵A的逆矩阵的行列式，行列式的值可以理解为矩阵的“面积”或“体积”。

首先，根据矩阵的性质有 |AB| = |A| * |B|，即矩阵A与矩阵B的乘积的行列式等于矩阵A的行列式乘以矩阵B的行列式。

由题意得 |A^(-1) B| = 2，即矩阵A^(-1)与矩阵B的乘积的行列式等于2。

根据矩阵的性质又有： |A^(-1) B| = |A^(-1)| * |B|，即乘积矩阵A^(-1) B的行列式等于矩阵A^(-1)的行列式乘以矩阵B的行列式。

由此可得： |A^(-1)| * |B| = 2。

接下来，我们要求的是矩阵A与矩阵B的逆矩阵的乘积的行列式，即 |A B^(-1)|。

根据矩阵的性质有 |AB| = |A| * |B|，则 |A B^(-1)| = |A| * |B^(-1)|。

我们已知 |A| = 3，而要求的是 |A B^(-1)|。

由此，我们可以得出： |A B^(-1)| = 3 * |B^(-1)|。

但是，我们并没有直接给出矩阵B的逆矩阵的行列式，而只有矩阵B的行列式的值为2。

所以，不能直接计算出 |A B^(-1)| 的值。

最后的答案是无法确定。