g,h都是单射,则f一定是单射
时间: 2023-10-24 21:03:09 浏览: 221
假设g和h都是单射,即对于任意的a和b,若g(a)=g(b),则a=b;若h(a)=h(b),则a=b。
现在考虑f是否一定是单射。首先,我们知道f是由g和h组合得到的,即f=g∘h。那么我们可以假设存在c和d,且f(c)=f(d),即g(h(c))=g(h(d))。
由于g是单射,根据单射的定义,当g(a)=g(b)时,必有a=b。则根据这个性质,我们可以得到h(c)=h(d)。
由于h是单射,根据单射的定义,当h(a)=h(b)时,必有a=b。则根据这个性质,我们可以得到c=d。
综上所述,当f(c)=f(d)时,必有c=d。因此,f也是单射。
总结:如果g和h都是单射,那么由g和h组合得到的f也一定是单射。
相关问题
若f为单射,g为满射,则f复合g是什么类型函数
如果 $f$ 是单射,$g$ 是满射,那么 $f\circ g$ 是单射。
首先考虑 $f\circ g$ 是单射的证明。因为 $g$ 是满射,所以对于 $f\circ g$ 的任意 $y\in Y$,都存在 $x\in X$ 使得 $(f\circ g)(x)=f(g(x))=y$。现在我们需要证明任意的 $x_1,x_2\in X$,若 $(f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2)$,则 $x_1=x_2$。
因为 $(f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2)$,所以 $f(g(x_1))=f(g(x_2))$。因为 $f$ 是单射,所以 $g(x_1)=g(x_2)$。因为 $g$ 是满射,所以 $x_1=x_2$。因此,$f\circ g$ 是单射。
综上所述,$f$ 为单射,$g$ 为满射,则 $f\circ g$ 是单射。
存在映射g:b→a,s.t.gf=ida,则f是单射
设集合a和b分别为集合A和B中的元素。存在映射g:b→a,并且gf=ida。
首先,我们知道gf=ida,其中i是集合a的恒等映射。对于任意b∈B,有g(f(b))=i(b)=b。这表明对于集合b中的每个元素,存在一个集合a中的元素与之对应。
接下来,我们需要证明映射f是单射,即对于任意b₁, b₂∈B,如果f(b₁)=f(b₂),则b₁=b₂。
假设f(b₁)=f(b₂),我们需要证明b₁=b₂。
根据gf=ida,我们有g(f(b₁))=g(f(b₂))。由于f(b₁)=f(b₂),则g(f(b₁))=g(f(b₂))。根据函数的性质,我们可以得到b₁=b₂。
因此,根据上述推导,我们可以得出结论:存在映射g:b→a,并且gf=ida,那么映射f是单射。