z=(x^2+y^2)^(1/2),求z对x的求导

我们可以使用链式法则对该函数进行求导：

首先，根据链式法则，z对x的求导可以表示为：

∂z/∂x = (∂z/∂u) * (∂u/∂x)

其中，u = x^2 + y^2

接着，我们可以分别求出 ∂z/∂u 和 ∂u/∂x：

- ∂z/∂u = (x^2 + y^2)^(-1/2) * 2x
- ∂u/∂x = 2x

将它们代入链式法则的公式中，可以得到：

∂z/∂x = (∂z/∂u) * (∂u/∂x) = (x^2 + y^2)^(-1/2) * 2x * 2x = 2x / (2(x^2 + y^2)^(1/2)) = x / (x^2 + y^2)^(1/2)

因此，z对x的求导结果为 x / (x^2 + y^2)^(1/2)。

相关问题

编写求解方程组:x^2 +y^2+z+7=10x,x*y^2 = 2*z,x^2+y^2 +z^2=3*y

将第一个方程变形，得到：
x^2 - 10x + y^2 + z = -7
将第二个方程变形，得到：
z = x*y^2 / 2

将第三个方程变形，得到：
z^2 = 3*y - x^2 - y^2

将第二个方程中的 z 代入第三个方程，得到：
(x*y^2 / 2)^2 = 3*y - x^2 - y^2
化简后得到：
x^2*y^4 / 4 - x^2 - y^2 + 12*y = 0

现在我们有两个关于 x 和 y 的方程：
x^2 - 10x + y^2 + z = -7
x^2*y^4 / 4 - x^2 - y^2 + 12*y = 0

我们可以使用数值计算方法，例如牛顿迭代法，来求解这个方程组。具体来说，我们可以先给定 x 和 y 的一个初始值，例如 x = 1，y = 1，然后使用牛顿迭代法来逐步改进这个初始值，直到得到一个满足两个方程的解。

牛顿迭代法的基本思想是：从一个初始值开始，不断使用切线来逼近方程的解。具体来说，假设我们要求解方程 f(x) = 0，我们可以从一个初始值 x0 开始，然后构造一个切线，它通过点 (x0, f(x0))，并且斜率为 f'(x0)，其中 f'(x0) 表示函数 f 在点 x0 处的导数。切线的方程为：
y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0)

我们可以令 y = 0，得到一个新的 x 值：
x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)

然后我们可以使用 x1 作为新的 x0，继续构造切线，得到新的 x 值，直到收敛到一个解。

具体到这个方程组，我们可以使用牛顿迭代法来求解 x 和 y。具体来说，我们可以定义一个函数 F(x, y)，它表示两个方程的左边减去右边的值，即：
F(x, y) = (x^2 - 10x + y^2 + z + 7) + (x*y^2 / 2) - (x^2 + y^2 + z^2 - 3*y)

我们的目标是找到一个 (x, y)，使得 F(x, y) = 0。我们可以使用牛顿迭代法来逐步改进 x 和 y 的值，直到 F(x, y) 收敛到 0。

具体来说，我们可以从一个初始值 (x0, y0) 开始，然后定义两个函数：
G(x, y) = x^2 - 10x + y^2 + z + 7 - x*y^2 / 2
H(x, y) = x^2*y^4 / 4 - x^2 - y^2 + 12*y

我们的目标是找到 (x1, y1)，使得 G(x1, y1) = 0 和 H(x1, y1) = 0。我们可以使用牛顿迭代法来逐步改进 (x0, y0) 的值，直到 G(x, y) 和 H(x, y) 都收敛到 0。

具体来说，我们可以使用以下公式来更新 (x, y) 的值：
x1 = x0 - (Gx*Hy - Gy*Hx) / (Gx*Hy - Gy*Hx)
y1 = y0 - (Gy*Hx - Gx*Hy) / (Gx*Hy - Gy*Hx)

其中，Gx 和 Gy 分别表示 G(x, y) 对 x 和 y 的偏导数，Hx 和 Hy 分别表示 H(x, y) 对 x 和 y 的偏导数。这些偏导数可以通过对 G(x, y) 和 H(x, y) 求导得到。

我们可以从一个初始值 (x0, y0) = (1, 1) 开始，然后不断使用上述公式来逼近方程的解。具体来说，我们可以重复以下步骤，直到 G(x, y) 和 H(x, y) 都收敛到 0：
1. 计算 Gx, Gy, Hx, Hy 的值。
2. 使用上述公式来更新 (x, y) 的值，得到 (x1, y1)。
3. 将 (x1, y1) 作为新的初始值，重复以上步骤。

最终得到的 (x, y, z) 就是方程组的一个解。

X^2+y^2+z^2=1求切平面为什么对x求导时把y，z看作常量

在求切平面时，我们需要找到曲面上某一点的切向量，然后以该向量为法向量建立切平面。对于一般的曲面，切向量可以通过对曲面方程在该点处求偏导数得到。具体地，对于曲面方程 $F(x,y,z)=0$，在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量为 $\nabla F(x_0,y_0,z_0)$，其中 $\nabla F$ 表示 $F$ 的梯度向量。注意，梯度向量的每个分量都是对应变量的偏导数。

在本题中，曲面方程为 $x^2 y^2 z^2=1$。我们需要求该曲面在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量，其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 满足方程 $x_0^2 y_0^2 z_0^2=1$。对该方程两边同时取对数，得到 $\ln(x_0)+\ln(y_0)+\ln(z_0)=0$。因此，我们可以将曲面方程写成 $F(x,y,z)=\ln(x)+\ln(y)+\ln(z)$，在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的梯度向量为

$$
\nabla F(x_0,y_0,z_0)=\left(\frac{1}{x_0},\frac{1}{y_0},\frac{1}{z_0}\right)
$$

这里的偏导数是对应变量在该点处的导数。因为在求切向量时，我们只需要在某一点处求偏导数，而不需要对整个曲面求导数，所以在对 $x$ 求导时，我们可以将 $y$ 和 $z$ 看作常量，因为它们在该点处的值已经确定了。这样，我们就可以得到在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切向量为

$$
\left(\frac{1}{x_0},0,0\right)
$$

最后，我们以该向量为法向量建立切平面。