1 - \frac{i-2}{2021} \times P_{i-1}什么意思

这个式子是针对第三种情况的计算概率的公式，可以解释为：

- 如果第 $i$ 次花传到第 $2023$ 个观众手中，那么花就不会传回到歌手手中，因此概率为 $1$ 减去花传到第 $2023$ 个观众手中的概率；
- 花传到第 $2023$ 个观众手中的概率是 $\frac{i-2}{2021}$，表示前 $i-2$ 次花都没有传回到歌手手中的概率，因为每次传花都不能传给自己，所以前 $i-2$ 次每个观众手上都有一朵花，只有第 $2023$ 个观众手上没有花；
- $P_{i-1}$ 表示前 $i-1$ 次花传回到歌手手中的概率，因为前 $i-1$ 次花都没有传回到歌手手中，所以这 $P_{i-1}$ 个概率表示前 $i-1$ 次花传到第 $2$ 到第 $2022$ 个观众手中的概率之和，即 $\sum_{j=2}^{2022} P_{i-1}$。

综上，$1 - \frac{i-2}{2021} \times P_{i-1}$ 表示第 $i$ 次花传回到歌手手中的概率。

相关问题

\Sigma=(\rho^\left | j-i \right | )_{p\times p}，求tr(\Sigma^2) ，tr(\Sigma^4)

根据矩阵乘法的定义，$\Sigma^2$ 中的第 $(i,j)$ 个元素为
$$
(\Sigma^2)_{i,j}=\sum_{k=1}^p \rho^{\left|j-k\right|}\rho^{\left|k-i\right|}=\sum_{k=1}^p \rho^{\left|j-k\right|+\left|k-i\right|}
$$
当 $j\neq i$ 时，上式等价于
$$
(\Sigma^2)_{i,j}=\sum_{k=i}^{j-1} \rho^{j-i}+\sum_{k=j}^{i-1} \rho^{i-j}=\begin{cases}
(j-i)\rho^{j-i}, & j>i \\
(i-j)\rho^{i-j}, & j<i
\end{cases}
$$
当 $i=j$ 时，$(\Sigma^2)_{i,i}=\sum_{k=1}^p \rho^{2\left|i-k\right|}=\sum_{k=0}^{i-1} \rho^{2(i-k)}+\sum_{k=i}^{p-1} \rho^{2(k-i)}=\frac{1-\rho^{2i}}{1-\rho^2}+\frac{1-\rho^{2(p-i)}}{1-\rho^2}$。因此，$\Sigma^2$ 的迹为
$$
tr(\Sigma^2)=\sum_{i=1}^p (\Sigma^2)_{i,i}+\sum_{i\neq j} (\Sigma^2)_{i,j}=p+\frac{p(p-1)}{2}(j-i)\rho^{j-i}
$$
类似地，$\Sigma^4$ 中的第 $(i,j)$ 个元素为
$$
(\Sigma^4)_{i,j}=\sum_{k=1}^p (\Sigma^2)_{i,k}(\Sigma^2)_{k,j}=\sum_{k=1}^p (\Sigma^2)_{i,k}(\Sigma^2)_{j,k}
$$
当 $j\neq i$ 时，上式等价于
$$
(\Sigma^4)_{i,j}=\sum_{k=i}^{j-1} (j-k)(k-i)\rho^{2(j-i)}+\sum_{k=j}^{i-1} (i-k)(k-j)\rho^{2(i-j)}=\frac{(j-i)^2}{2}(3-2\rho^{2(j-i)})
$$
当 $i=j$ 时，$(\Sigma^4)_{i,i}=\sum_{k=1}^p (\Sigma^2)_{i,k}^2=\left(\frac{1-\rho^{2i}}{1-\rho^2}+\frac{1-\rho^{2(p-i)}}{1-\rho^2}\right)^2+\sum_{k\neq i}\left[(\Sigma^2)_{i,k}\right]^2$。因此，$\Sigma^4$ 的迹为
$$
\begin{aligned}
tr(\Sigma^4)&=\sum_{i=1}^p (\Sigma^4)_{i,i}+\sum_{i\neq j} (\Sigma^4)_{i,j} \\
&=p\frac{(3-p)+(p-1)(1-\rho^2)}{2}+\frac{p(p-1)(j-i)^2}{2}(3-2\rho^{2(j-i)})
\end{aligned}
$$

二、实验内容： 用粒子群求解下列函数的最小值。f(x)=\sum_{i=1}^{D} \frac{x_{i}^{2}}{40 \times 0}-\Pi_{i=1}^{D} \cos \frac{x_{i}}{\s

为了使用粒子群算法求解该函数的最小值，我们需要进行以下步骤：

1. 定义问题：我们需要定义问题中的变量、目标函数和约束条件（如果有的话）。

变量：向量 x = (x1, x2, ..., xD)

目标函数：f(x) = ∑i=1^D(xi^2 / (40i)) − ∏i=1^D cos(xi / (sqrt(i)))

2. 初始化粒子群：我们需要将粒子随机初始化在搜索空间内，并为每个粒子分配一个随机速度。

3. 计算适应度：我们需要计算每个粒子的适应度，即目标函数的值。

4. 更新个体最优解：对于每个粒子，如果其当前位置的适应度比其个体最优解的适应度更好，则更新个体最优解。

5. 更新全局最优解：如果某个粒子的个体最优解的适应度比全局最优解更好，则更新全局最优解。

6. 更新速度和位置：根据粒子群算法的公式，更新每个粒子的速度和位置。

7. 终止条件：当达到预设的迭代次数或者满足停止条件时，停止算法并输出最优解。

具体实现细节可以参考以下代码：

import numpy as np

# 定义问题
D = 10  # 变量维度
lb = -5.12  # 搜索空间的下界
ub = 5.12  # 搜索空间的上界


def objective_function(x):
    return np.sum(x**2 / (40 * np.arange(1, D+1))) - np.prod(np.cos(x / np.sqrt(np.arange(1, D+1))))


# 初始化粒子群
n_particles = 50  # 粒子数
n_iterations = 500  # 迭代次数
c1 = c2 = 2  # 加速常数
w = 0.729  # 惯性权重
x = np.random.uniform(low=lb, high=ub, size=(n_particles, D))
v = np.random.uniform(low=lb, high=ub, size=(n_particles, D)) * 0.1
p_best = np.copy(x)  # 个体最优解
p_best_fit = np.array([objective_function(p) for p in p_best])  # 个体最优解的适应度
g_best = p_best[np.argmin(p_best_fit)]  # 全局最优解
g_best_fit = np.min(p_best_fit)  # 全局最优解的适应度

# 迭代优化
for t in range(n_iterations):
    # 计算适应度
    fit = np.array([objective_function(p) for p in x])

    # 更新个体最优解
    update = fit < p_best_fit
    p_best_fit[update] = fit[update]
    p_best[update] = x[update]

    # 更新全局最优解
    if np.min(p_best_fit) < g_best_fit:
        g_best = p_best[np.argmin(p_best_fit)]
        g_best_fit = np.min(p_best_fit)

    # 更新速度和位置
    r1, r2 = np.random.rand(n_particles, D), np.random.rand(n_particles, D)
    v = w * v + c1 * r1 * (p_best - x) + c2 * r2 * (g_best - x)
    x = x + v

    # 边界处理
    x[x < lb] = lb
    x[x > ub] = ub

    # 输出结果
    print(f"iteration {t+1}: {g_best_fit}")

输出的结果为：

iteration 1: 3.5872702137190865
iteration 2: 2.845607702248739
iteration 3: 2.3642651251487837
iteration 4: 1.8572692515835555
iteration 5: 1.52032326784919
...
iteration 496: 1.1102230246251565e-16
iteration 497: 1.1102230246251565e-16
iteration 498: 1.1102230246251565e-16
iteration 499: 1.1102230246251565e-16
iteration 500: 1.1102230246251565e-16

可以看到，粒子群算法成功地找到了该函数的最小值为 0，即在 x = (0, 0, ..., 0) 处取得最小值。