过m个点做n次多项式插值,一般我们要求n=m-1,可以得到唯一解,但如果n不等于m-1,关于插值多项式的存在唯一性会有什么结论
时间: 2023-05-25 16:05:03 浏览: 93
当n不等于m-1时,关于插值多项式的存在和唯一性没有一般性的结论。具体地说,当n<m-1时,对于任意的m个点,总存在无数个n次多项式可以通过它们,因此插值多项式的存在性是显然的;同时,也可以构造出一些例子,使得同一组数据点存在多个n次插值多项式。当n>=m-1时,插值多项式的存在性和唯一性可以得到保证,即只要数据点互不相同,就总存在唯一的n次插值多项式经过它们。
相关问题
对权函数ρ(x)= 1-x2, 试求首项系数为1的在[-1,1]区间的正交多项式φn(x), n=0~3
根据正交多项式的定义,我们可以使用施密特正交化方法来求解。
首先,我们需要一个初始的多项式,即 n=0 时,φ0(x)=1。
然后,对于 n>0,我们可以按照以下步骤递推得到 φn(x):
1. 求出未经过正交化处理的多项式 ψn(x),即
ψn(x) = x^n
2. 计算正交化系数 αn 和 βn,即
αn = 1 / (1 - x^2) ∫_{-1}^{1} x^n (1 - x^2) dx
βn = ||ψn(x)||^2 = 1 / ∫_{-1}^{1} (ψn(x))^2ρ(x) dx
3. 计算正交多项式 φn(x),即
φn(x) = (ψn(x) - sum_{k=0}^{n-1} (ψn(x), φk(x))φk(x)) / ||φn(x)||
其中 (·, ·) 表示内积。
根据上述公式,我们可以得到如下的计算过程:
当 n=0 时,φ0(x) = 1。
当 n=1 时,
ψ1(x) = x
α1 = 1/2
β1 = 2/3
φ1(x) = (x - 0) / sqrt(2/3) = sqrt(3/2) x
当 n=2 时,
ψ2(x) = x^2
α2 = 2/3
β2 = 8/15
φ2(x) = (x^2 - sqrt(3/2) x * ∫_{-1}^{1} x^2 sqrt(3/2) x (1 - x^2) dx) / sqrt(8/15)
= (3x^2 - 1) / sqrt(8/15)
当 n=3 时,
ψ3(x) = x^3
α3 = 0
β3 = 48/35
φ3(x) = (x^3 - sqrt(2/5) x (3x^2 - 1) - sqrt(8/15) (x - 0)) / sqrt(48/35)
= (5x^3 - 3x) / sqrt(48/35)
因此,首项系数为1的在[-1,1]区间的正交多项式为 φ1(x) = sqrt(3/2) x,φ2(x) = (3x^2 - 1) / sqrt(8/15),φ3(x) = (5x^3 - 3x) / sqrt(48/35)。
对权函数ρ(x)= 1-x2, 试求首项系数为1的在[-1,1]区间的正交多项式φn(x), n=0~3 答:
首先,我们可以使用勒让德多项式的公式来求解这个问题,即:
φn(x) = (1/An) d^n/dx^n [(1-x^2)^n]
其中,An 是勒让德多项式的归一化系数,满足:
An = [n!(2n)!]^-1/2
我们可以分别求解 n=0,1,2,3 时的 φn(x):
当 n=0 时,φ0(x) = (1/A0) d/dx [(1-x^2)^0] = 1
其中,A0 = [0!(2*0)!]^-1/2 = 1
当 n=1 时,φ1(x) = (1/A1) d/dx [(1-x^2)^1] = -2x
其中,A1 = [1!(2*1)!]^-1/2 = 1/2
当 n=2 时,φ2(x) = (1/A2) d^2/dx^2 [(1-x^2)^2] - (1/A2) [2x d/dx [(1-x^2)^2]]
化简得到:
φ2(x) = 3x^2 - 1
其中,A2 = [2!(2*2)!]^-1/2 = 1/2
当 n=3 时,φ3(x) = (1/A3) d^3/dx^3 [(1-x^2)^3] - (3x/A3) d^2/dx^2 [(1-x^2)^3] + (3/A3) x^2 d/dx [(1-x^2)^3]
化简得到:
φ3(x) = -5x^3 + 3x
其中,A3 = [3!(2*3)!]^-1/2 = 3/4
因此,在[-1,1]区间的正交多项式φn(x), n=0~3 的系数分别为:
φ0(x) = 1
φ1(x) = -2x
φ2(x) = 3x^2 - 1
φ3(x) = -5x^3 + 3x