可以将上述代码补充使用施密特正交化来找正交基，并计算参数吗

当然可以！下面是在上述代码基础上补充使用施密特正交化来找正交基，并计算参数的代码示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def schmidt_orthogonalization(X):
    Q, R = np.linalg.qr(X)
    return Q

def polynomial_chaos_expansion(data, degree):
    # 计算多项式系数
    n = len(data)
    X = np.vander(data, degree + 1, increasing=True)
    Q = schmidt_orthogonalization(X)
    A = np.linalg.inv(Q.T @ Q) @ Q.T

    # 混沌展开
    chaos_expansion = np.zeros(n)
    for i in range(degree + 1):
        chaos_expansion += A[i] * Q[:, i]

    return chaos_expansion

# 生成随机数据
np.random.seed(0)
data = np.linspace(-1, 1, 100)
noise = np.random.normal(0, 0.1, 100)
y = np.sin(np.pi * data) + noise

# 使用3次多项式进行混沌展开
degree = 3
chaos_expansion = polynomial_chaos_expansion(data, degree)

# 绘制结果
plt.scatter(data, y, label='Data')
plt.plot(data, chaos_expansion, color='red', label='Chaos Expansion')
plt.legend()
plt.show()

在上述代码中，补充了一个函数 `schmidt_orthogonalization` 来进行施密特正交化。具体步骤如下：

1. 定义了一个函数 `schmidt_orthogonalization`，该函数接受一个矩阵 `X` 作为输入。
2. 在函数内部，利用 `np.linalg.qr` 函数对矩阵 `X` 进行 QR 分解，得到正交矩阵 `Q` 和上三角矩阵 `R`。
3. 返回正交矩阵 `Q`，即正交基。

在 `polynomial_chaos_expansion` 函数中，将原先计算多项式系数的部分替换为施密特正交化的过程：

1. 在函数内部，根据输入的数据 `data` 和展开的次数 `degree`，使用 Vandermonde 矩阵构建了一个线性方程组 `X`。
2. 调用 `schmidt_orthogonalization` 函数对矩阵 `X` 进行施密特正交化，得到正交基 `Q`。
3. 利用正交基 `Q` 计算多项式系数 `A`。
4. 根据计算得到的多项式系数和正交基，计算混沌展开的结果。

请注意，施密特正交化可以用于将原始多项式基函数转换为正交基函数，从而避免了多项式之间的线性相关性。这样可以更好地表示数据，并且可以减少计算量。在上述代码中，通过施密特正交化得到了正交基函数，并使用这些基函数进行混沌展开。