求函数f（t/a）*e^（-t/a）的拉普拉斯变换

根据拉普拉斯变换的定义，对于一个函数 $f(t)$，它的拉普拉斯变换为：

$$
F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt
$$

现在我们来求函数 $f\left(\frac{t}{a}\right) e^{-\frac{t}{a}}$ 的拉普拉斯变换。代入上式中，得到：

$$
\begin{aligned}
F(s) &= \mathcal{L}\left\{f\left(\frac{t}{a}\right) e^{-\frac{t}{a}}\right\} \\
&= \int_0^{\infty} e^{-st} f\left(\frac{t}{a}\right) e^{-\frac{t}{a}} dt \\
&= \int_0^{\infty} e^{-\left(s+\frac{1}{a}\right)t} f\left(\frac{t}{a}\right) dt \\
&= \int_0^{\infty} e^{-\left(s+\frac{1}{a}\right)ax} f(x) a dx \\
&= a \int_0^{\infty} e^{-\left(s+\frac{1}{a}\right)ax} f(x) dx \\
&= a \mathcal{L}\{f(x)\}(s+\frac{1}{a})
\end{aligned}
$$

因此，函数 $f\left(\frac{t}{a}\right) e^{-\frac{t}{a}}$ 的拉普拉斯变换为 $a \mathcal{L}\{f(x)\}(s+\frac{1}{a})$。