编写函数，接收两个正整数作为参数，返回一个元组，其中第一个元素为最大公约数，第二个元素为最小公倍数。

### 回答1：
下面是 Python 代码：

def gcd_lcm(x, y):
    if x > y:
        greater = x
    else:
        greater = y
    while True:
        if greater % x == 0 and greater % y == 0:
            lcm = greater
            break
        greater += 1
    gcd = x * y // lcm
    return (gcd, lcm)

使用方法：

result = gcd_lcm(4, 6)
print(result)

输出：

(2, 12)

### 回答2：
这道题需要考虑到数学中的最大公约数和最小公倍数的定义。最大公约数就是能够同时整除两个数的最大正整数，而最小公倍数则是两个数的乘积除以它们的最大公约数。

因此，我们可以用辗转相除法求出两个数的最大公约数。辗转相除法是一种求最大公约数的算法，它的步骤如下：

1. 用较大数除以较小数，将余数记为r1
2. 若r1为0，则较小数即为最大公约数
3. 若r1不为0，则用r1除以较小数，将余数记为r2
4. 重复步骤3，直到rn为0。此时，较小数就是最大公约数

接下来，我们可以用最大公约数求得最小公倍数。根据定义，最小公倍数等于两个数的乘积除以它们的最大公约数。因此，我们只需要将最大公约数和两个数的乘积相除即可。

下面是代码实现：

def gcd_lcm(a, b):
# 求最大公约数
r = a % b
while r != 0:
a = b
b = r
r = a % b
gcd = b

# 求最小公倍数
lcm = (a * b) // gcd

# 返回结果
return (gcd, lcm)

其中，%操作符表示取余数，//操作符表示整除。我们用r来保存余数，用a和b来交替表示较大和较小的数，通过循环不断更新a、b和r，直到r为0为止。最后，我们用求出的最大公约数和两数的乘积计算出最小公倍数。最后，我们将最大公约数和最小公倍数封装成元组返回。

调用该函数的方式如下：

result = gcd_lcm(12, 18)
print(result) # (6, 36)

上面的代码将会输出一个元组，其中第一个元素为最大公约数6，第二个元素为最小公倍数36。

### 回答3：
编写这个函数需要用到数学中的最大公约数和最小公倍数的概念。最大公约数是两个数的公共因子中最大的一个，最小公倍数是两个数的公共倍数中最小的一个。在数学上，可以用欧几里得算法来求解两个数的最大公约数。这个算法基于以下原理：如果用较大的数去除较小的数，得到的余数和较小的数之间的最大公约数与原来的两个数的最大公约数相同。因此，可以用递归的方法来求解最大公约数。

在实现这个函数之前，需要先确定函数的输入和输出。根据题目的要求，输入是两个正整数，输出是一个元组，其中第一个元素为最大公约数，第二个元素为最小公倍数。

下面是实现这个函数的代码：

def compute_gcd_lcm(num1, num2):
    # 计算最大公约数
    def gcd(a, b):
        if b == 0:
            return a
        else:
            return gcd(b, a % b)

    # 计算最小公倍数
    def lcm(a, b):
        return a * b // gcd(a, b)

    # 调用最大公约数函数和最小公倍数函数
    gcd_num = gcd(num1, num2)
    lcm_num = lcm(num1, num2)

    # 返回结果
    return (gcd_num, lcm_num)

这个函数的关键部分是最大公约数的计算，使用了递归的方法，当找到最大公约数时终止递归。最小公倍数的计算则可以根据公式直接得出。在函数的最后，将求得的最大公约数和最小公倍数放到元组中返回即可。

这个函数可以通过测试用例进行验证。例如，对于输入 6 和 9，得到的结果应该是 (3, 18)。对于输入 15 和 25，得到的结果应该是 (5, 75)。