分支限界 旅行商 java_旅行商问题分析（分支限界法）

旅行商问题是一个经典的组合优化问题，其目标是寻找一条路径，使得经过所有城市且回到起点的总距离最短。而分支限界法是一种常用的求解组合优化问题的算法，它通过不断分支扩展搜索树来逐步缩小问题的解空间。下面我们来看一下如何使用分支限界法来解决旅行商问题。

首先，我们需要定义一个节点类来表示每个搜索树节点。节点类包含以下成员变量：

- path：当前路径
- bound：当前路径的下界
- level：搜索树的深度

其中，path表示当前已经走过的路径，bound表示当前路径的下界（即从当前节点到终点的最小估计距离），level表示搜索树的深度。

接下来，我们需要编写一个优先队列来存储搜索树节点，并按照下界从小到大排序。每次取出队首节点进行扩展，直到找到最优解为止。扩展节点时，我们需要根据当前路径计算下界，并根据下界更新优先队列。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行搜索：

1. 初始化优先队列，并将根节点加入队列中。
2. 取出队首节点进行扩展，如果当前路径已经经过所有城市，则更新最优解并返回。
3. 根据当前路径计算下界，并根据下界更新优先队列。
4. 对队列中的节点按照下界排序，并重复步骤2-3，直到找到最优解为止。

在计算下界时，我们可以采用一些启发式算法来估计从当前节点到终点的最小距离。常用的启发式算法包括最小生成树算法和最近邻算法等。具体的实现细节可以根据具体情况进行调整。

下面是一个简单的Java实现，仅供参考：

class Node implements Comparable<Node> {
    int[] path; // 当前路径
    int bound; // 当前路径的下界
    int level; // 搜索树的深度

    public Node(int[] path, int bound, int level) {
        this.path = path;
        this.bound = bound;
        this.level = level;
    }

    public int compareTo(Node other) {
        return this.bound - other.bound;
    }
}

public class TSP {
    private int n; // 城市个数
    private int[][] graph; // 城市间距离矩阵
    private int[] bestPath; // 最优路径
    private int bestDist = Integer.MAX_VALUE; // 最优路径长度

    public TSP(int n, int[][] graph) {
        this.n = n;
        this.graph = graph;
        this.bestPath = new int[n];
    }

    public void solve() {
        PriorityQueue<Node> queue = new PriorityQueue<>();
        int[] path = new int[n];
        int bound = getBound(path, 0);
        queue.offer(new Node(path, bound, 0));

        while (!queue.isEmpty()) {
            Node node = queue.poll();
            int[] curPath = node.path;
            int curBound = node.bound;
            int level = node.level;

            if (level == n) {
                int dist = getDist(curPath);
                if (dist < bestDist) {
                    bestDist = dist;
                    System.arraycopy(curPath, 0, bestPath, 0, n);
                }
                continue;
            }

            for (int i = level; i < n; i++) {
                swap(curPath, i, level);
                int newBound = curBound - graph[curPath[level - 1]][curPath[level]]
                        + graph[curPath[level - 1]][curPath[level + 1]]
                        + getBound(curPath, level + 1);
                if (newBound < bestDist) {
                    int[] newPath = Arrays.copyOf(curPath, n);
                    queue.offer(new Node(newPath, newBound, level + 1));
                }
                swap(curPath, i, level);
            }
        }
    }

    private int getBound(int[] path, int level) {
        int bound = 0;
        boolean[] visited = new boolean[n];
        for (int i = 0; i < level; i++) {
            visited[path[i]] = true;
            bound += graph[path[i]][path[i + 1]];
        }
        bound += getMST(visited);
        return bound;
    }

    private int getMST(boolean[] visited) {
        int[] dist = new int[n];
        Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);
        dist[0] = 0;
        int weight = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int u = -1;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (!visited[j] && (u == -1 || dist[j] < dist[u])) {
                    u = j;
                }
            }
            visited[u] = true;
            weight += dist[u];
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (!visited[j] && graph[u][j] < dist[j]) {
                    dist[j] = graph[u][j];
                }
            }
        }
        return weight;
    }

    private int getDist(int[] path) {
        int dist = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dist += graph[path[i]][path[i + 1]];
        }
        return dist;
    }

    private void swap(int[] path, int i, int j) {
        int temp = path[i];
        path[i] = path[j];
        path[j] = temp;
    }
}

以上就是使用分支限界法解决旅行商问题的基本思路和实现方法。需要注意的是，旅行商问题是一个NP-hard问题，因此在实际应用中，算法的时间复杂度和空间复杂度往往会非常高，需要根据具体情况进行优化。