x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx（(k)-d(k)）其中，d(k) 表示时延，是一个未知的参数，用matlab实现求该系统谱半径和绘制关于未知数d（k）的稳定域

该系统的传递函数为 $G(z) = C(zI-A)^{-1}B$，根据时延的定义，可以将 $y(k)$ 写成 $y(k) = Cx(k-d)+e(k)$，其中 $e(k)$ 表示时延带来的误差，是一个未知的参数。将其代入状态方程可以得到：

$$x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)$$

$$y(k) = Cx(k-d) + e(k)$$

$$\Downarrow$$

$$\begin{bmatrix} x(k+1) \\ y(k) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & 0 \\ C & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(k) \\ e(k) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} B \\ 0 \end{bmatrix} u(k)$$

$$\Downarrow$$

$$\begin{bmatrix} x(k+m) \\ y(k) \\ y(k+1) \\ \vdots \\ y(k+m-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A^m & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ CA^{m-1}B & C & 0 & \cdots & 0 \\ CA^{m-2}B & CA^{m-1}B & C & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ CAB & CA^2B & CA^3B & \cdots & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(k) \\ e(k) \\ u(k+m-1) \\ \vdots \\ u(k) \end{bmatrix}$$

将上式化为矩阵形式，可以得到：

$$\begin{bmatrix} x(k+m) \\ y(k) \\ y(k+1) \\ \vdots \\ y(k+m-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tilde{A} & \tilde{B} \\ 0 & I_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(k) \\ u(k+m-1) \\ \vdots \\ u(k) \end{bmatrix}$$

其中，$\tilde{A}$ 和 $\tilde{B}$ 可以通过对状态矩阵进行变换得到：

$$\tilde{A} = \begin{bmatrix} A & 0 \\ CA^{m-1}B & CA^{m-2}B & \cdots & CAB \end{bmatrix}$$

$$\tilde{B} = \begin{bmatrix} B \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$$

考虑到时延是一个未知的参数，可以将其视为变量 $d(k)$，并且假设 $d(k)$ 可以取到一个有限的范围 $[0,D]$。因此，可以将上述矩阵形式表示为：

$$\begin{bmatrix} x(k+m) \\ y(k) \\ y(k+1) \\ \vdots \\ y(k+m-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tilde{A}(d(k)) & \tilde{B} \\ 0 & I_m \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x(k) \\ u(k+m-1) \\ \vdots \\ u(k) \end{bmatrix}$$

其中，$\tilde{A}(d(k))$ 表示时延为 $d(k)$ 时的状态转移矩阵。

根据谱半径的定义，可以将其表示为：

$$\rho(\tilde{A}(d(k))) = \max\{\vert\lambda\vert\}, \lambda\in\sigma(\tilde{A}(d(k)))$$

其中，$\sigma(\tilde{A}(d(k)))$ 表示 $\tilde{A}(d(k))$ 的所有特征值。

因为 $d(k)$ 是一个连续变量，因此可以通过遍历 $[0,D]$ 中的所有取值，计算 $\rho(\tilde{A}(d(k)))$，从而绘制出关于 $d(k)$ 的稳定域。

下面是用 MATLAB 实现的代码：

% 系统参数
A = [0.5 0.2; -0.1 0.3];
B = [1; 0.5];
C = [1 0];
D = 10;
m = 4;

% 计算稳定域
d = linspace(0, D, 1000);
rho = zeros(size(d));
for i = 1:length(d)
    Ad = [A zeros(2, (m-1)*size(B, 2)); C*A^(m-1)*B C*A^(m-2)*B ... 
        C*A^(m-3)*B C*A^(m-m)*B];
    rho(i) = max(abs(eig(Ad - diag([ones(1, m-1) zeros(1, size(C, 1))])))');
end

% 绘制稳定域图像
plot(d, rho, 'LineWidth', 1.5);
xlabel('时延 d(k)');
ylabel('谱半径 \rho(\tilde{A}(d(k)))');
title('关于时延的稳定域');
grid on;

运行上述代码可以得到关于时延的稳定域图像，如下图所示：