$H(\omega) = \frac{i(\omega)}{i_{in}(\omega)} = \frac{Z_{in}}{Z_{in}+Z_{f}}$使用拉普拉斯反变换的结果

由于 $H(\omega)$ 是一个复数函数，我们需要分别反变换其实部和虚部。

首先，我们求出 $H(s)$，将复频域变换为复时域。假设输入信号为 $i_{in}(t)$，输出信号为 $i(t)$，则有：

$$H(s) = \frac{i(s)}{i_{in}(s)} = \frac{Z_{in}}{Z_{in}+Z_{f}}$$

对 $H(s)$ 进行拉普拉斯反变换，得到：

$$i(t) = \mathcal{L}^{-1}\{ H(s) i_{in}(s) \} = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{Z_{in}}{Z_{in} + Z_f} i_{in}(s) \right\}$$

接下来，我们需要将 $H(s)$ 拆分成实部和虚部：

$$H(s) = \frac{Z_{in}}{Z_{in}+Z_{f}} = \frac{Z_{in}}{Z_{in}+Z_{f}} \cdot \frac{Z_{in}-Z_{f}}{Z_{in}-Z_{f}} = \frac{Z_{in}^2-Z_{f}^2}{(Z_{in}+Z_{f})^2} + j\frac{2Z_{in}Z_{f}}{(Z_{in}+Z_{f})^2}$$

然后，我们分别对实部和虚部进行拉普拉斯反变换：

$$i_1(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{Z_{in}^2-Z_{f}^2}{(Z_{in}+Z_{f})^2} i_{in}(s) \right\}$$

$$i_2(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{2Z_{in}Z_{f}}{(Z_{in}+Z_{f})^2} i_{in}(s) \right\}$$

因此，$i(t)$ 的拉普拉斯反变换为：

$$i(t) = i_1(t) + j i_2(t)$$

其中，$i_1(t)$ 和 $i_2(t)$ 分别是实部和虚部的反变换。