二元函数f(a+h,b+k)-f(a,b)=fx(a+h,b+k)h+fy(a+h,b+k)k推广到多元函数公式的过程与结果
时间: 2024-05-28 16:11:44 浏览: 10
我们可以将二元函数推广到 $n$ 元函数。设 $f(\boldsymbol{x})$ 是一个 $n$ 元函数,其中 $\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 表示 $n$ 个自变量。
首先,我们可以将 $f(\boldsymbol{x})$ 在点 $\boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 处进行一阶泰勒展开,得到:
$$f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h})=f(\boldsymbol{a})+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{a})h_i+o(\|\boldsymbol{h}\|)$$
其中,$\boldsymbol{h}=(h_1,h_2,\cdots,h_n)$ 表示自变量的增量,$o(\|\boldsymbol{h}\|)$ 表示 $\|\boldsymbol{h}\|$ 的高阶无穷小。
对上式左侧进行变形,得到:
$$f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{h})-f(\boldsymbol{a})=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{a})h_i+o(\|\boldsymbol{h}\|)$$
令 $\boldsymbol{k}=(k_1,k_2,\cdots,k_n)$,将 $\boldsymbol{h}=(h_1,h_2,\cdots,h_n)=(k_1-k_1,k_2-k_2,\cdots,k_n-k_n)$ 代入上式,得到:
$$f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{k})-f(\boldsymbol{a})=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{a})(k_i-a_i)+o(\|\boldsymbol{k}-\boldsymbol{a}\|)$$
将上式左侧记为 $\Delta f(\boldsymbol{a},\boldsymbol{k})$,即:
$$\Delta f(\boldsymbol{a},\boldsymbol{k})=f(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{k})-f(\boldsymbol{a})$$
则上式可写成:
$$\Delta f(\boldsymbol{a},\boldsymbol{k})=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{a})(k_i-a_i)+o(\|\boldsymbol{k}-\boldsymbol{a}\|)$$
这个公式就是多元函数的一阶泰勒公式,它是二元函数的推广。其中,$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{a})$ 表示 $f(\boldsymbol{x})$ 对第 $i$ 个自变量在点 $\boldsymbol{a}$ 处的偏导数。
需要注意的是,上述公式中的 $o(\|\boldsymbol{k}-\boldsymbol{a}\|)$ 表示 $\|\boldsymbol{k}-\boldsymbol{a}\|$ 的高阶无穷小,即当 $\boldsymbol{k}\to\boldsymbol{a}$ 时,$o(\|\boldsymbol{k}-\boldsymbol{a}\|)$ 的阶数比 $\|\boldsymbol{k}-\boldsymbol{a}\|$ 更高。因此,当 $\boldsymbol{k}\to\boldsymbol{a}$ 时,$\Delta f(\boldsymbol{a},\boldsymbol{k})$ 迅速趋近于线性逼近式 $\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(\boldsymbol{a})(k_i-a_i)$,并且 $\boldsymbol{k}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的距离越近,这个线性逼近式的精度就越高。
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