若x+2xy+y-a(x+y)+25 是完全平方式,则a=
时间: 2023-12-15 08:05:09 浏览: 34
我们观察到 $x^2 + 2xy + y^2 - a(x+y) = 25$,这启示我们把它写成 $(x+y)^2 - a(x+y) = 25$ 的形式。我们设 $u = x+y$,那么原方程就变成了 $u^2 - au = 25$。
由于 $25$ 是完全平方数,我们希望 $u^2 - au$ 也是完全平方数。我们可以尝试对 $u^2 - au$ 进行配方法:
$$u^2 - au = u^2 - 2\cdot\frac{a}{2}\cdot u + \left(\frac{a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \left(u - \frac{a}{2}\right)^2 - \frac{a^2}{4}$$
因此,我们需要满足 $\frac{a^2}{4} + 25$ 是完全平方数。由于 $a$ 是整数,我们可以列出如下的方程:
$$\frac{a^2}{4} + 25 = b^2$$
其中 $b$ 是一个整数。移项并乘以 $4$,得到:
$$a^2 + 100 = 4b^2$$
这是一个二次二元不定方程。我们可以把它看成一个关于 $a$ 的二次方程:
$$a^2 - 4b^2 + 100 = 0$$
这是一个标准的二次方程,解得:
$$a = \pm 2\sqrt{b^2 - 25}$$
因此,只有当 $b\geq 5$ 时才有解。又因为 $a$ 是整数,所以 $b$ 必须是奇数。因此,$b$ 的取值为 $5, 7, 9, \ldots$。
综上所述,$a$ 的取值为:
$$a = \pm 2\sqrt{b^2 - 25},\qquad \text{其中}\ b = 5, 7, 9, \ldots$$
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