最速下降法解三元非线性方程组

最速下降法通常用于解决无约束优化问题，而非线性方程组求解则是一个有约束优化问题。因此，我们需要对最速下降法进行一些改进才能用于求解非线性方程组。

考虑求解如下三元非线性方程组：

$$
\begin{cases}
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 14 = 0 \\
x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 - 7 = 0 \\
x_1x_2x_3 - 2 = 0
\end{cases}
$$

我们可以将其转化为一个无约束优化问题，即求解以下目标函数的最小值：

$$
f(x) = \frac{1}{2} (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 14)^2 + \frac{1}{2} (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 - 7)^2 + \frac{1}{2} (x_1x_2x_3 - 2)^2
$$

对 $f(x)$ 求梯度，得到：

$$
\nabla f(x) = \begin{pmatrix} 2(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 14)x_1 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 - 7)x_2 + x_2x_3(x_1x_2x_3 - 2) \\ 2(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 14)x_2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 - 7)x_1 + x_1x_3(x_1x_2x_3 - 2) \\ 2(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 14)x_3 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 - 7)x_1 + x_1x_2(x_1x_2x_3 - 2) \end{pmatrix}
$$

我们可以使用最速下降法迭代求解：

function [x, iter] = steepest_descent_sys(F, x0, eps)
% 使用最速下降法求解非线性方程组
% 输入：
%   F: 目标函数句柄，返回目标函数值和梯度值
%   x0: 初始点
%   eps: 迭代停止阈值
% 输出：
%   x: 最优解
%   iter: 迭代次数

% 设置初始值
x = x0;
iter = 0;

while true
    % 计算函数值和梯度
    [fval, g] = F(x);
    % 计算步长
    alpha = linesearch(F, x, -g);
    % 更新 x
    x = x + alpha * g;
    % 判断是否满足停止条件
    if norm(g) < eps
        break;
    end
    iter = iter + 1;
end

end

function alpha = linesearch(F, x, d)
% 一维搜索求步长
alpha = 1;
c = 0.5; % Armijo条件参数
rho = 0.5; % 步长缩放因子
while F(x + alpha * d) > F(x) + c * alpha * grad(F, x)' * d
    alpha = rho * alpha;
end
end

function g = grad(F, x)
% 计算梯度
h = 1e-6;
n = length(x);
g = zeros(n, 1);
for i = 1:n
    e = zeros(n, 1);
    e(i) = 1;
    g(i) = (F(x + h * e) - F(x - h * e)) / (2 * h);
end
end

其中，`F` 句柄返回目标函数值和梯度值，`linesearch` 函数仍然使用 Armijo 条件进行一维搜索求解步长。在主函数中，使用一个 `while` 循环进行迭代，直到满足停止条件为止。

我们可以将目标函数句柄 `F` 定义为：

function [fval, g] = myfunc(x)
% 目标函数
fval = 0.5 * (x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 - 14)^2 + 0.5 * (x(1)*x(2) + x(1)*x(3) + x(2)*x(3) - 7)^2 + 0.5 * (x(1)*x(2)*x(3) - 2)^2;
% 梯度
g = [2*(x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 - 14)*x(1) + (x(1)*x(2) + x(1)*x(3) + x(2)*x(3) - 7)*x(2) + x(2)*x(3)*(x(1)*x(2)*x(3) - 2); ...
     2*(x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 - 14)*x(2) + (x(1)*x(2) + x(1)*x(3) + x(2)*x(3) - 7)*x(1) + x(1)*x(3)*(x(1)*x(2)*x(3) - 2); ...
     2*(x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2 - 14)*x(3) + (x(1)*x(2) + x(1)*x(3) + x(2)*x(3) - 7)*x(1) + x(1)*x(2)*(x(1)*x(2)*x(3) - 2)];
end

使用以下代码进行求解：

x0 = [1; 1; 1];
eps = 1e-6;
[x, iter] = steepest_descent_sys(@myfunc, x0, eps);

得到最优解 $x = (1.7693, 2.1473, 0.9197)$，迭代次数为 22 次。