求XYZ欧拉角转ZYX欧拉角的所有解

我们可以通过以下步骤将XYZ欧拉角转换为ZYX欧拉角：

1. 将XYZ欧拉角表示为旋转矩阵R1
2. 将R1表示为ZYX欧拉角，得到ZYX欧拉角解

具体的，我们有以下推导过程：

1. 将XYZ欧拉角表示为旋转矩阵R1

$$
R_1 = R_z(\phi) R_y(\theta) R_x(\psi) = \begin{bmatrix}
c_\theta c_\phi & c_\theta s_\phi & -s_\theta \\
s_\psi s_\theta c_\phi - c_\psi s_\phi & s_\psi s_\theta s_\phi + c_\psi c_\phi & s_\psi c_\theta \\
c_\psi s_\theta c_\phi + s_\psi s_\phi & c_\psi s_\theta s_\phi - s_\psi c_\phi & c_\psi c_\theta
\end{bmatrix}
$$

其中，$c_\alpha = \cos\alpha$，$s_\alpha = \sin\alpha$

2. 将R1表示为ZYX欧拉角，得到ZYX欧拉角解

首先，我们可以通过以下公式将旋转矩阵表示为欧拉角：

$$
R = R_z(\alpha)R_y(\beta)R_x(\gamma) = \begin{bmatrix}
c_\alpha c_\beta & c_\alpha s_\beta s_\gamma - s_\alpha c_\gamma & c_\alpha s_\beta c_\gamma + s_\alpha s_\gamma \\
s_\alpha c_\beta & s_\alpha s_\beta s_\gamma + c_\alpha c_\gamma & s_\alpha s_\beta c_\gamma - c_\alpha s_\gamma \\
-s_\beta & c_\beta s_\gamma & c_\beta c_\gamma
\end{bmatrix}
$$

故有：

$$
\begin{cases}
s_\theta = -R_{31} \\
c_\theta = \sqrt{R_{11}^2 + R_{21}^2} \\
\phi = \arctan_2(R_{21}, R_{11}) \\
\psi = \arctan_2(R_{32}, R_{33})
\end{cases}
$$

其中，$\arctan_2$ 是一个带符号的反正切函数，其返回值的范围是 $[-\pi, \pi]$。

因此，我们可以通过以上公式将R1表示为ZYX欧拉角。注意，由于旋转矩阵的特殊性质，$\theta$ 的值只能是 $[0, \pi]$ 中的一个值，因此需要根据 $R_{31}$ 的正负来选择合适的解。