有n个人围成一圈，从1开始按顺序编号，从第一个人开始从1到k（假设k=3）报数，报到k的人退出圈子，然后圈子缩小，从下一个人继续游戏，问最后留下的是原来的第几号。 编写程序，模拟上面的游戏，要求初始人数n和报数临界值k可以自由指定。运行程序并观察游戏进行的过程。python编程，使用两种方法实现，并简单分析其优劣。

方法一：模拟整个过程

思路：使用一个列表来模拟人围成的圈子，每次计数时将计数器加一，当计数器等于k时，将该位置的人从列表中删除，圈子缩小。直到只剩下最后一个人，返回该人的编号。

代码如下：

def play_game(n, k):
    circle = list(range(1, n+1))
    i = 0
    while len(circle) > 1:
        i = (i + k - 1) % len(circle)
        circle.pop(i)
    return circle[0]

方法二：数学方法

思路：通过数学计算，可以直接得出最后留下的人的编号。设最后留下的人的编号为f(n, k)，则有：

$$
f(n,k)=\begin{cases}
0, & n=1 \\
(f(n-1,k)+k) \bmod n, & n>1
\end{cases}
$$

代码如下：

def play_game(n, k):
    if n == 1:
        return 1
    else:
        return (play_game(n-1, k) + k - 1) % n + 1

分析：

方法一的优点是直观易懂，容易理解。但是当n和k较大时，列表操作的时间复杂度较高，效率较低。

方法二的优点是使用了递归实现，代码较简洁，且时间复杂度为O(n)，效率较高。但是当n较大时，由于递归深度较深，可能会导致栈溢出。

因此，对于本题，建议使用方法二实现。如果需要考虑n和k较大的情况，可以使用非递归的方法实现。