用yalmip进行ax2+bx+c线性化建模
时间: 2023-08-09 12:11:39 浏览: 96
对于一个二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$,我们可以通过线性化的方法来将其转化为一个线性规划问题。具体来说,我们将 $f(x)$ 在某个点 $x_0$ 的一阶导数进行线性化,即:
$$
f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)
$$
其中,$f'(x) = 2ax + b$ 是 $f(x)$ 的一阶导数。在这个线性化的表达式中,$f(x_0)$ 和 $f'(x_0)$ 都是常数,而 $(x-x_0)$ 是决策变量。因此,我们可以将 $f(x)$ 表示为以下的线性规划问题:
$$
\begin{aligned}
\min_{x_0,\,y} \quad & f(x_0) + f'(x_0) y \\
\text{s.t.} \quad & ax_0^2 + bx_0 + c - y \leq 0 \\
& -ax_0^2 - bx_0 - c - y \leq 0 \\
\end{aligned}
$$
其中,$x_0$ 是一个常数,表示线性化点的位置;$y$ 是一个变量,表示线性化后的函数值。第一个约束条件保证了线性化函数在 $x_0$ 处的值不大于原函数的值;第二个约束条件保证了线性化函数在 $x_0$ 处的值不小于原函数的值。
使用 YALMIP 进行建模,我们需要定义决策变量和约束条件。具体来说,我们需要定义 $x_0$ 和 $y$ 两个变量,以及两个线性约束条件。代码如下:
```
% 定义决策变量
x0 = sdpvar(1);
y = sdpvar(1);
% 定义约束条件
constr = [a*x0^2 + b*x0 + c - y <= 0, ...
-a*x0^2 - b*x0 - c - y <= 0];
% 定义目标函数
obj = f(x0) + fgrad(x0)*y;
% 求解问题
optimize(constr, obj);
```
在上述代码中,我们首先定义了决策变量 $x_0$ 和 $y$,然后定义了两个约束条件,分别对应于线性化函数在 $x_0$ 处的值不大于原函数的值和不小于原函数的值。其中,$f(x_0)$ 和 $f'(x_0)$ 分别由函数 `f(x0)` 和 `fgrad(x0)` 给出。最后,我们定义了目标函数为 $f(x_0) + f'(x_0) y$,并调用 `optimize` 函数来求解问题。
需要注意的是,线性化方法只是一种近似方法,对于某些非凸函数,可能会导致结果不太准确。因此,在实际应用中,需要根据具体的问题来选择合适的建模方法。