设f (x ) 连续，ϕ(x ) =⎰f (xt ) dt ，且lim 0x →0f (x ) ‘=A (A 为常数) ，求ϕ并讨论（x ）x

根据定积分的定义，$\phi(x) = \int_0^1 f(xt) dt$。

对$\phi(x)$求导，得到

$$\phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_0^1 f(xt) dt = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial x} f(xt) dt = \int_0^1 tf'(xt) dt$$

由于$f(x)$在$x=0$处连续，因此有

$$\lim_{x\to 0} \frac{\phi(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \int_0^1 f(xt) dt = \int_0^1 \lim_{x\to 0} \frac{f(xt)}{x} dt = \int_0^1 tf'(0) dt = f'(0)$$

因为$\lim_{x\to 0} f'(x) = A$，所以$\lim_{x\to 0} \frac{\phi(x)}{x} = A$。因此，$\phi(x)$在$x=0$处可导，且$\phi'(0) = A$。

对于$x\neq 0$的情况，由于$f(x)$连续，因此$f(xt)$在$[0,1]$上一致连续。所以，对于任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，使得当$|h|<\delta$时，$|f(xt)-f((x+h)t)|<\epsilon$，从而有

$$\left| \frac{\phi(x+h) - \phi(x)}{h} - \phi'(x) \right| \leq \int_0^1 |t f'(xt) - f'(0)| dt + \epsilon$$

由于$\lim_{x\to 0} f'(x) = A$，因此当$x$充分小时，$|f'(xt)-f'(0)|<\epsilon$。因此，当$x$充分小时，上式右边的表达式小于$2\epsilon$。这说明$\phi(x)$在$x=0$处可导，且$\phi'(0) = A$，并且在$x\neq 0$处也可导，导数为$\phi'(x) = \int_0^1 tf'(xt) dt$。

综上所述，$\phi(x)$在$x=0$处可导，且$\phi'(0)=A$，在$x\neq 0$处也可导，导数为$\phi'(x) = \int_0^1 tf'(xt) dt$。