当x趋近于0时,使用等价无穷小,(x-sinx)/x^3的值
时间: 2024-06-12 19:07:35 浏览: 29
首先我们观察分式 (x-sin x)/x^3,分母是 x 的三次方,因此当 x 趋近于 0 时它会变得非常小,我们可以考虑将分子也变成一个等价的无穷小,这样我们就可以使用夹逼定理求出极限。
我们知道当 x 趋近于 0 时,sin x 和 x 的差值非常小,因此我们可以将 sin x 替换为 x,得到:
(x - x)/x^3 = 0
因此,极限值为 0。
相关问题
x-sinx的等价无穷小为什么是1/6*x^3]
根据泰勒公式,当x趋近于0时,可以将函数x-sin(x)展开为其在x=0处的泰勒多项式:
x-sin(x) = x - (x - x^3/3! + x^5/5! - ...) = x^3/3! - x^5/5! + ...
因为x^3比x^5小,当x趋近于0时,只考虑其一阶项,即
x-sin(x) ≈ x^3/3!
因此,x-sin(x)的等价无穷小为1/6*x^3。
0/0型等价无穷小 e^x-e^-x
我们将分析0/0型等价无穷小e^x-e^-x。
首先,我们需要将表达式化简为一个更容易分析的形式。我们利用指数函数的性质e^a*e^b=e^(a+b)来重写这个表达式:
e^x-e^-x = e^x(1-e^-2x)。
现在,我们观察括号中的部分:1-e^-2x。
当x接近无穷大时,e^-2x将趋近于0,因为指数函数在无穷大下的极限为0。因此,1-e^-2x将近似等于1。
接下来,我们继续观察e^x(1-e^-2x)。
对于无穷大的x,e^x也是无穷大。因此,e^x(1-e^-2x)也可以看作是0/0型等价无穷小。
现在,我们可以使用泰勒级数展开来近似计算0/0型等价无穷小。根据泰勒级数展开,我们有:
e^x ≈ 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...
将这个展开式代入e^x(1-e^-2x),我们可以得到:
e^x(1-e^-2x) ≈ (1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...)(1 - (x^2/2) + (x^4/4!) - ...)
将这个展开式化简,我们可以得到:
e^x(1-e^-2x) ≈ (x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...) - (x^3/2) - (x^5/4!) + ...
这个化简后的表达式是一个无穷级数,其中每一项都包含一个x的幂次。当x越来越大时,高阶项的影响会逐渐减小,只有低阶项对结果有显著贡献。因此,我们可以将该表达式近似为:
e^x(1-e^-2x) ≈ x。
所以,0/0型等价无穷小e^x-e^-x的近似值为x。
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