limit((1+1/x)^x+sin*x/x,x,inf)

我们可以使用L'Hopital法则来求解这个极限。首先，将$(1+1/x)^x$表示为$e^{x\ln(1+1/x)}$，然后将极限变形，得到：

$$
\begin{aligned}
\lim_{x \rightarrow \infty} \left[(1 + \frac{1}{x})^x + \frac{\sin x}{x}\right] &= \lim_{x \rightarrow \infty} \left[e^{x\ln(1+1/x)} + \frac{\sin x}{x}\right] \\
&= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x\ln(1+1/x)} - 1}{1/x} + \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x} \cdot x \\
&= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x\ln(1+1/x)} \cdot \ln(1+1/x)}{-1/x^2} + 1 \\
&= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^{x\ln(1+1/x)} \cdot (-1/x^3)}{(-1/x^2)\cdot(-2/x^3)} + 1 \\
&= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{x+1} + 1 \\
&= 2
\end{aligned}
$$

因此，$ \lim_{x \rightarrow \infty} \left[(1 + \frac{1}{x})^x + \frac{\sin x}{x}\right]$ 的极限值为$2$。