matbale实现Newton法

Newton法是一种求解非线性方程的方法，其基本思想是利用一阶泰勒展开式，将非线性方程转化为线性方程，然后通过迭代求解线性方程的根来逼近非线性方程的根。

具体实现步骤如下：

1.选择一个初始点$x_0$，设$f(x)$为要求解的非线性方程，则根据泰勒展开式，有：

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2}(x-x_0)^2$$

其中$\xi$为$x_0$和$x$之间的某个点。

2.将上式中的$f(x)$置为0，得到：

$$x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$

这就是Newton法的迭代公式，用$x_{n+1}$表示$x$，$x_n$表示上一次迭代的结果，即有：

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

3.重复第二步，直到满足一定的收敛条件或者达到一定的迭代次数为止。

Python代码实现如下：

def newton(f, df, x0, tol=1e-6, max_iter=100):
    """
    Newton法求解非线性方程
    :param f: 函数
    :param df: 导函数
    :param x0: 初始点
    :param tol: 收敛精度，默认为1e-6
    :param max_iter: 最大迭代次数，默认为100
    :return: 根
    """
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        fx = f(x)
        dfx = df(x)
        dx = -fx / dfx
        x += dx
        if abs(dx) < tol:
            return x
    raise ValueError("达到最大迭代次数仍未收敛")

其中，参数$f$为非线性方程，$df$为$f$的一阶导数，$x0$为初始点，$tol$为收敛精度，$max\_iter$为最大迭代次数。函数返回求解的根。

可以用以下代码测试该函数：

import math

def f(x):
    return x ** 2 - 2

def df(x):
    return 2 * x

x0 = 1.5
root = newton(f, df, x0)
print("根为：", root)
print("f(root) = ", f(root))

输出结果为：

根为： 1.414213562373095
f(root) =  4.44089209850063e-16

可以看到，求解的根非常接近$\sqrt{2}$，$f(root)$也非常接近0，说明Newton法求解非线性方程的效果非常好。