如果不使用qr_decomposition呢

如果不使用 QR 分解的方法，我们也可以使用高斯-约旦消元法来求解矩阵的逆矩阵。下面是 Python 代码实现：

import numpy as np

def inverse(matrix):
    n = matrix.shape[0]
    A = np.hstack((matrix, np.eye(n)))
    for i in range(n):
        # 将第 i 行的第 i 个元素变为 1
        A[i] = A[i] / A[i, i]
        for j in range(n):
            if j != i:
                # 将第 j 行的第 i 个元素变为 0
                A[j] = A[j] - A[j, i] * A[i]
    A_inv = A[:, n:]
    return A_inv

这里我们先将输入的矩阵 A 和一个单位矩阵拼接在一起，然后对其进行高斯-约旦消元操作，得到一个新的矩阵。新矩阵的左半部分是单位矩阵，右半部分则是原矩阵的逆矩阵。因此，我们只需要将新矩阵的右半部分取出来就是原矩阵的逆矩阵了。

需要注意的是，使用高斯-约旦消元法求逆矩阵时，需要确保原矩阵 A 是可逆的。如果原矩阵 A 不可逆，可能会出现计算错误。

相关问题

如果不使用numpy库的qr函数手算呢

如果没有使用NumPy库中的qr函数，可以使用Gram-Schmidt正交化算法手动计算QR分解。以下是一个对方阵A做QR分解的Python函数实现：

import numpy as np

def qr_decomposition(A):
    m, n = A.shape
    Q = np.zeros((m, n))
    R = np.zeros((n, n))
    
    for j in range(n):
        v = A[:, j]
        for i in range(j):
            R[i, j] = np.dot(Q[:, i], A[:, j])
            v = v - R[i, j] * Q[:, i]
        R[j, j] = np.linalg.norm(v)
        Q[:, j] = v / R[j, j]
    
    return Q, R

其中，输入参数A为待分解的方阵，函数返回值Q和R分别为QR分解的结果。可以使用以下代码测试该函数：

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
Q, R = qr_decomposition(A)
print("Q = \n", Q)
print("R = \n", R)

输出结果应该与使用NumPy库中的qr函数的结果相同。需要注意的是，手动计算QR分解可能会因为计算精度的问题而出现一些误差。

QR分解（QR Decomposition）算法

QR分解是一种常用的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。这种分解在线性代数中有广泛的应用，例如求解线性方程组、最小二乘问题等。

具体地，假设$A$是一个$m\times n$的矩阵，其中$m\ge n$，则它可以被分解为$A=QR$，其中$Q$是一个$m\times m$的正交矩阵，即$Q^TQ=QQ^T=I$，$R$是一个$n\times n$的上三角矩阵。这个分解的求解可以通过Gram-Schmidt正交化算法、Householder变换或Givens旋转等方法来实现。

其中，Gram-Schmidt正交化算法是一种简单的方法，其基本思想是：对于$A$的每一列向量$a_1,a_2,\cdots,a_n$，逐个将它们正交化得到单位正交向量$q_1,q_2,\cdots,q_n$，然后构造正交矩阵$Q=[q_1,q_2,\cdots,q_n]$，使得$A=QR$。具体的正交化过程可以通过以下公式实现：

$$
\begin{aligned}
q_1&=\frac{a_1}{\|a_1\|}\\
q_2&=\frac{a_2-\operatorname{proj}_{q_1}a_2}{\|a_2-\operatorname{proj}_{q_1}a_2\|}\\
q_3&=\frac{a_3-\operatorname{proj}_{q_1}a_3-\operatorname{proj}_{q_2}a_3}{\|a_3-\operatorname{proj}_{q_1}a_3-\operatorname{proj}_{q_2}a_3\|}\\
&\cdots\\
q_n&=\frac{a_n-\sum_{i=1}^{n-1}\operatorname{proj}_{q_i}a_n}{\|a_n-\sum_{i=1}^{n-1}\operatorname{proj}_{q_i}a_n\|}
\end{aligned}
$$

其中，$\operatorname{proj}_{q_i}a_j$表示向量$a_j$在向量$q_i$上的投影。最终得到的矩阵$Q$是正交矩阵，$R$可以通过$R=Q^TA$得到。

需要注意的是，对于非满秩矩阵$A$，其QR分解仍然存在，但$R$的最后几行会全为0。此时可以通过舍去这些行来得到一个更紧凑的QR分解。