一个机器人位于一个 m × n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。 机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。问总共有多少条不同的路径？ 输入：m = 3, n = 7动态规划子问题描述及递推方程，并用动态规划编写程序，并输出算法执行时间

这是一道经典的动态规划问题，可以使用蛮力法、递归或动态规划来解决。

动态规划思路：用一个二维数组 $dp$ 表示到达每个格子的路径数量，则 $dp[i][j]$ 表示从起点到达第 $i$ 行、第 $j$ 列格子的路径数量。对于第一行和第一列格子，由于只能向右或向下走，所以到达这些格子的路径数量都为 $1$。对于其他格子，到达 $(i,j)$ 格子的路径数量等于到达 $(i-1,j)$ 和 $(i,j-1)$ 格子的路径数量之和。因此，递推式为：

$$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]$$

最终答案为 $dp[m][n]$。时间复杂度为 $O(mn)$。

以下是动态规划的Python代码实现：

import time

def uniquePaths(m: int, n: int) -> int:
    dp = [[1] * n for _ in range(m)]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
    return dp[m-1][n-1]

start = time.time()
print(uniquePaths(3, 7))
end = time.time()
print("Time used:", end-start)

输出结果为：

28
Time used: 0.xxxxx

其中，算法执行时间根据计算机性能和Python版本不同而有所差异。